Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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(7) k 2 cos j- k 2 x 0 y 0 + Xiyi -f-... -f- x n y n - 
Alle Punkte, deren Koordinaten in der Form (5) dargestellt 
werden können, gehören einer geraden Linie an. Läfst man 
das Wertepaar (a, b) stetig von (1, 0) in (0, 1) übergehen, so 
wird das Wertsystem (x-j, x, ...x„) in (y 0 , ...y n ) umgewandelt; 
der dargestellte Punkt bewegt sich in gerader Linie, legt auf ihr 
eine Strecke von der Länge e zurück und kehrt dadurch in seine 
Anfangslage zurück. Eine solche Länge darf aber in keinem 
festen Körper und damit auch in keinem Gebiete, das unserer 
Untersuchung von Anfang an zu Grunde gelegt werden konnte, 
Vorkommen. Denn die gemachten Voraussetzungen fordern, dafs 
ein Punkt, der in jenem Gebiete verbleibt und eine gerade Strecke 
zurücklegt, nicht wieder durch seine Anfangslage hindurchgeht. 
Diese Betrachtung gilt aber nicht blofs für die Punkte des 
zunächst ausgewählten Bereiches, sondern bleibt ganz allgemein 
gültig. Wir wissen schon, dafs jedes Wertsystem (x 0 , Xj...x n ) 
einen Punkt darstellt, und zeigen durch einfache Erwägungen, 
dafs die Gleichungen (2), (3), (4) ganz allgemein das Zusammen 
fällen von Punkten darstellen, sobald sie dies für die Punkte eines 
gewissen Bereiches thun. Geben wir also in der rechten Seite 
der Gleichung (7) den Variabein x 0 , xj ...x n irgend welche der 
Gleichung (1) genügende Werte und ersetzen die Gröfsen y 0 , 
yi ... y n durch ihre aus den Gleichungen (2) folgenden Werte, 
so erhalten wir eine Länge e, durch deren Zurücklegung ein 
Punkt wieder in seine Anfangslage auf geradlinigem Wege zurück 
kehren kann. Hiernach nimmt die Gleichung (7) die Form an: 
(8) k 2 cos ==>k 2 a 0 o x 0 2 -f- a n x i 2_ t~ • • • -p a nnX n 2 
-p (k 2a oi -j~ a io) x o x i -f- • • • ( a m + a m) x i x n -f- .. . 
Bestimmt man die Gröfse von e aus dieser Gleichung für irgend 
ein reelles Wertsystem, so darf sie nie unter eine gewisse Grenze 
sinken; speziell darf die vorstehende Gleichung weder für e=0 
noch für einen beliebig kleinen Wert von e befriedigt werden. 
Hierdurch ist eine neue Bedingung gegeben, der die Transfor 
mations-Koeffizienten zu genügen haben. 
Wenn die Koordinaten (y 0 ... y n ) denselben Punkt bezeichnen, 
wie (x 0 ...x n ), wofern die Gleichungen bestehen: