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Vierter Abschnitt. § 6. 
y* = ^*(x<, .. .x„), 
so erhält man offenbar vermittelst der Gleichungen: 
z* = (y 0 • • • y n ) 
neue Koordinaten z 0 ... z„, die denselben Punkt darstellen. Setzt 
man aber in die letzten Gleichungen für y<J...y n die Werte 
ipij (x) ... ip n (x) ein, so erhält man neue Gleichungen: 
z* = X* (x 0 .. .x n ), 
durch welche ebenfalls ein Zusammenfallen von Punkten bezeichnet 
wird. Da die Funktionen xp x (x) als linear homogen vorausgesetzt 
und zwischen den darin vorkommenden Koeffizienten die Be 
ziehungen (3) und (4) angenommen werden, so gilt dasselbe 
von den Funktionen Z*(x). Dagegen bedarf es einer besondern 
Untersuchung, ob auch die Gleichung (8), auf die neuen Trans 
formations-Koeffizienten angewandt, weder einen verschwindenden 
noch einen beliebig kleinen Wert von e liefert. 
In derselben Weise kann man aber weitere Koordinatenwerte 
herleiten, durch die derselbe Punkt dargestellt wird. Um den 
Weg, auf dem dies geschieht, recht deutlich zu übersehen, schreibe 
man x' statt y und setze: 
x*' = ^"a^x^ = kx (xo ... x n ). 
Jetzt bilde man in unbeschränkter Folge die Gleichungen: 
x*" = kx' (x 0 ' . . . x n ) = kx (x 0 ... x n ) 
x*( m ) = (x 0 ' . . . x«') =A* (m) (x 0 . . . X n ). 
Dann darf die durch die Gleichung: 
k 2 cos ^ = k 2 x 0 x 0 (m) -f XiX t (n 4 -J- x n x n (m) 
bestimmte Gröfse e m nicht beliebig klein werden, wofern nicht 
etwa durch die Funktionen A* (m) die identische Transformation 
dargestellt wird, also für x = 0, 1.,. n jedesmal x* (m) = x* wird. 
Wir können die linearen Funktionen A* (m) auch leicht für 
einen negativen Wert von m definieren. Aber da die neue Gröfse 
e_ m = e m wird, genügt es die Werte von e m für ein positives 
m zu betrachten. 
Dadurch haben wir folgendes Resultat erhalten: 
»Soll eine Transformation imstande sein, das Zusammenfallen 
von Punkten zu bezeichnen, so mufs sie