Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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(x, y) der Punkt (x, y) mit dem Punkte (x -}- 2a, y) identisch 
ist, so dürfen wir aufserdem noch festsetzen, dafs für jedes y die 
Punkte (0, y) und (a, y) zusammenfallen. Bei dieser Annahme 
giebt es einfach unendlich viele geschlossene Gerade; alle diese 
haben die Länge 2a; aber wenn man von einem gewissen Punkte 
einer solchen Geraden ausgeht, so gelangt man bereits nach 
Zurücklegung einer Strecke gleich a wieder in den Ausgangspunkt 
zurück. 
Ähnliche Beispiele lassen sich leicht für den mehrdimensio 
nalen Raum bilden; sie lehren uns, dafs die beiden oben gestellten 
Fragen mit ja beantwortet werden müssen. Die Bedingungen, 
denen derartige Transformationen zu genügen haben, unterscheiden 
sich nicht von den Bedingungen, welche wir oben bereits ge 
funden haben. Die Formen aber, zu denen wir jetzt gelangen, 
sind so mannigfaltiger Art, dafs wir von einer erschöpfenden 
Darstellung Abstand nehmen müssen. Vielleicht läfst sich die 
übergrofse Zahl von Einzelfällen auf wenige Klassen zurückführen. 
So lange das nicht möglich ist, glauben wir uns auf diese wenigen 
Andeutungen beschränken zu sollen. 
Die prinzipielle Berechtigung dieser Raumformen hätte im 
Anfänge von § 5 im Anschlufs an die dort durchgeführten all 
gemeinen Erwägungen bewiesen werden müssen; dann wären 
aber die dort angestellten, immerhin schon recht abstrakten Unter 
suchungen noch komplizierter geworden. Deshalb mufsten wir 
dort davon absehen. Auch im folgenden soll auf die hier erör 
terten Möglichkeiten nicht näher eingegangen werden. Nur beim 
Ausspruch der Lehrsätze mufs auch die hier erörterte Möglichkeit 
berücksichtigt werden. 
§ 7. 
Über die zweidimensionalen Raumformen. 
Die Anwendung der im vorigen Paragraphen aufgestellten 
Vorschrift auf die zweidimensionalen Räume verschwindender 
Krümmung liefert uns sofort die möglichen Formen. Wir haben 
die Transformation zu Grunde zu legen: 
x' = xcos a — ysin « -f- a 
y' == x sin a -j- y cos « -f- b.