Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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kommen die beiden gegebenen Transformationen auf eine einzige 
hinaus. 
Ist aber das Verhältnis a';a = b';b irrational, so kann man 
es für jede beliebige ganze Zahl v zwischen die Werte ^ und 
‘ l - — ^ einschliefsen. Wiederholt man also die eine Transformation 
v 
(¡m—l)-mal, die reziproke der andern (v — l)-mal, so gelangt 
man von demselben Punkte aus zu Punkten, deren Abstand kleiner 
ist als -Ka^f-b 2 , 
was unmöglich ist. 
Demnach liegen die drei Punkte (x, y), (x', y') und (x", y") 
nicht in gerader Linie. Wir erhalten die zweite in § 2 betrachtete 
Möglichkeit. Jetzt zeigen wir aber sehr einfach, dafs eine dritte, 
von den beiden vorigen unabhängige Transformation nicht zu 
lässig ist. Wir haben also nur noch den Fall zu untersuchen, 
dafs entweder nur einzelne Linien oder Punkte der euklidischen 
Ebene mehrfach abgebildet werden oder dafs zu den angegebenen 
allgemeinen Zuordnungen noch solche hinzutreten, die nur für 
einzelne Linien oder Punkte gelten. Demnach erhalten wir 
den Satz: 
»Die Clifford-Kleinschen Raumformen von zwei Dimensionen 
und von verschwindender Krümmung lassen sich auf eine eukli 
dische Ebene analytisch so abwickeln, dafs sie entweder die ganze 
Ebene oder einen von zwei Parallelen begrenzten Streifen oder 
ein Parallelogramm anfüllen. Im ersten Falle müssen einzelne 
Linien oder Punkte sich mehrdeutig abbilden, was im zweiten und 
dritten Falle nicht notwendig, aber auch nicht ausgeschlossen ist.« 
Wir nehmen jetzt an, die Raumform habe ein positives 
Krümmungsmafs, welches wir bei passender Wahl der Längen 
einheit gleich eins setzen können. Dann können wir die Trans 
formation , durch welche das Zusammenfallen von Punkten be 
zeichnet wird, in der Form voraussetzen: 
y 0 = ßx n + ß*i -f yx 2 
(2) У! =й'х„ +ß'*i +Y% 
y 2 — cc x 0 -f-pf'xi +7 x 2 , 
wo die Bedingungen bestehen: