Die Ciifford-Kleinschen Raumformen. 
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( fi 1) so T~ ßßi -f- =0 
(5) 01 &) + (ß l)|l+/§2 = =0 
a £0 + ß'ßi — l)|i = 0. 
Da die aus den Koeffizienten gebildete Determinante gleich 
null ist, so erhalten wir ein reelles Verhältnis welches 
diesen Gleichungen genügt. Ist für dieses Verhältnis 
(6) &*-§!* — & 2 >0, 
so können wir |o, ßi, sa mit einem solchen Koeffizienten multi 
plizieren, dafs |o positiv und | 0 2 — ßi 2 — g 2 2 = 1 ist. Somit 
erhalten wir einen im Endlichen gelegenen (»eigentlichen«) Punkt, 
der sich selbst entspricht. Dieser Fall ist nach § 6 auszuschliefsen. 
Wenn aber 
(7) So* —& 2 -|t f —0 
ist, so lälst sich zeigen, dafs die im vorigen Paragraphen ein 
geführte Länge e jeden noch so kleinen Wert wirklich erreicht. 
Dieser Nachweis kann aus den in I § 10 S. 22 ff. angege 
benen Eigenschaften der parallelen Linien hergeleitet werden. 
Wir wollen ihn aber hier auf analytischem Wege führen. 
Unter der Bedingung (7) werden die Gleichungen: 
y<) — (1 + i£o) x O -f- (§2 i£o &l) x l (|i + igob2) x 2 
(8) yi=(^+-igogi)xo-f(l-ig 1 2 )x l -(| 0 +^ig 2 )x 2 
y 2 = (gl i-^0&) x O + (&) —"2 ^2 ) x l + (1 Y§2 2 ) x 2 
für y t == xt — gi erfüllt. Zudem genügen die Koeffizienten den 
Gleichungen (4). Umgekehrt wird die allgemeinste den Bedin 
gungen (4) genügende Transformation, welche die Forderung 
yi = Xi = |i beim Bestehen der Gleichung (7) befriedigt, aus 
(8) erhalten, indem man in (8) die | 0 > si? S2 mit einem belie 
bigen reellen Faktor multipliziert. 
Die kürzeste Strecke e, welche einen Punkt (x) in seine 
Anfangslage zurückführt, wird erhalten, indem man in die Gleichung; 
Ch e = x 0 y 0 — Xjy! — x 2 y 2 
für y 0 , yi, y 2 die Werte aus (8) einsetzt. Demnach erhält man 
durch eine sehr einfache Rechnung: 
Ch e — 1 (£o x o — IiXj — | 2 x 2 ) 2 , 
c 
oder wegen Ch e = 1 -j- 2 Sh 2 -: 
(9) 2Sh|= ± (go x o — £i x x — ¿2X2).