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Vierter Abschnitt. § 7. 
Der auf der rechten Seite stehende Ausdruck kann aber jeden 
beliebig kleinen Wert erhalten. So möge durch (z 0 , z i} z 2 ) ein 
fester reeller Punkt bezeichnet werden. Dann liegen für 
x 0 = *¿0 4" ¿Zo , Xi = Jig! -f- kZ\, X 2 = ¿§2 -p Az ä 
alle Punkte (x 0 , Xi, x 2 ) auf einer geraden Linie, wofern die 
Gleichung besteht: 
(jo Zo §lZ t S2 Z ü) ~P 4 2 = 1. 
Setzt man diese Werte von x 0 , x l5 x 2 in die Gleichung (9) 
ein, so folgt: 
2Sh| = ±A(c 0 z rt — giZi — | 2 z 2 ). 
Während der Klammerausdruck einen festen Wert hat, kann 
man / und demnach auch e beliebig klein machen. Somit ist 
der durch die Gleichung (7) bezeichnete Fall auszuschliefsen. 
Es bleibt also nur der Fall zu betrachten, dafs für jedes 
Wertsystem, welches den Gleichungen (5) genügt, die Relation 
besteht : 
(10) | 0 2 — li 2 — §2 2 > 0. 
Dann können wir die drei Gröfsen mit einer solchen reellen 
Gröfse multiplizieren, dafs 
£ 2 £ 2 £ 2 1 
Sl ~T S2 — So — 1 
ist. Demnach stellt jetzt nach I § 16 die Gleichung 
(fl) S0 X 0 + |l x l + |i x 2 ~0 
eine Gerade dar. Drücken wir aber vermittelst Umkehrung der 
Gleichungen (2) die x 0 , Xj, x 2 durch y 0 , yi, y 2 aus, so kommt 
dies infolge der Beziehungen (4) darauf hinaus, auf SO 5 |l 3 S2 in 
der Gleichung (11) die Gleichung (2) selbst anzuwenden. Da 
aber diese Gröfsen ungeändert bleiben, so wird auch die Gleichung 
(11) nicht geändert; die angegebene Transformation kommt also 
auf eine Verschiebung längs der Geraden (11) hinaus. Alle 
Punkte dieser Geraden erleiden dieselbe und alle übrigen Punkte 
eine gröfsere Verschiebung. Wiederholt man diese Bewegung 
beliebig oft, so bleibt die Gerade (11) ungeändert und die Gröfse 
der neuen Verschiebung wird aus der frühem durch Multiplikation 
mit einer ganzen Zahl erhalten. Demnach genügt diese Trans 
formation allen im vorigen Paragraphen aufgestellten Forderungen, 
und wir erhalten den Satz: