Die Cliffbrd-KIeinschen Raumformen. 
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»Jede Bewegung, durch welche in einer zweidimensionalen 
Clifford - Kleinschen Raumform konstanter negativer Krümmung 
ein Teil in seine Anfangslage zurückgeführt werden kann, kommt 
auf eine Verschiebung längs einer geraden Linie hinaus.« 
Wir untersuchen eine Raumform, bei welcher das Zusammen 
lallen von Punkten nur durch eine Transformation und deren 
Wiederholung bezeichnet wird. Als solche wählen wir: 
yo == x 0 Cha -J- Xj Sha, y* == xq Sh a -[- Cha, y 2 = X2. 
Die einzige Bewegung, bei welcher die Raumform stets in 
sich verbleibt, besteht in der Verschiebung längs der Geraden 
x 2 = 0. Diese Linie ist auch die einzige geschlossene Gerade. 
Zwar gehen durch jeden Punkt (r /0 , ry x , > /2 ) unendlich viele gerade 
Linien mehrmals hindurch, nämlich diejenigen, deren Gleichungen 
sind: 
für ein beliebiges ganzzahliges ,u; denn diese Gleichung wird 
sowohl lür x„ — rj 0 , x x = , x 2 — wie für 
x 0 = rjo Ch/ta-f-Sh.ua, Xj = r i0 Sh.ua -f- r jX Sh ua, x 2 = y 2 
erfüllt. Aber jede solche Gerade durchschneidet sich in dem 
Punkte und erstreckt sich von da an nach beiden Seiten ins Un 
endliche. Alle Geraden von dieser Eigenschaft können die aus 
gezeichnete Gerade x 2 = 0 nicht schneiden. Andere Gerade 
kommen dieser Geraden x 2 = 0 unbegrenzt nahe, andere schneiden 
sie und entfernen sich vom Schnittpunkt an unbegrenzt von ihr. 
Bei der Abbildung auf die Lobatschewskysche Ebene hat man 
vor allem zu untersuchen, ob eine Gerade die Linie x 2 = 0 
schneidet, ihr parallel ist oder einen festen kleinsten Abstand von 
ihr hat; unter den Geraden der letzten Art giebt es unendlich 
viele, denen in der Clifford - Kleinschen Raumform sich selbst 
durchschneidende Gerade entsprechen. 
Die zweidimensionale Raumform, welche wir hier betrachtet 
haben, läfst sich darstellen durch eine Fläche im dreidimensionalen 
Lobatschewskyschen Raume. Diese Fläche wird gebildet durch 
die Gesamtheit der Geraden, welche in den Punkten einer Kreis