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Vierter Abschnitt. § 8.
linie auf ihrer Ebene senkrecht stehen; ihre Gleichung läist sich
in der Form darstellen:
x 0 2 (a 2 — 1) — a a (x! 2 x 2 2 ).
Wir haben jetzt die Frage zu stellen, ob sich Verschiebungen
längs verschiedener Geraden zu einer diskontinuierlichen Gruppe
vereinigen lassen, welche nur solche Verschiebungen enthält. Um
die Frage schärfer zu formulieren, machen wir eine Transformation
von der Form (2) abhängig von r ganzen Zahlen fn,.., fi r und
setzen
y* = U>x(x 0 , x l5 Xü, Hi ... ,« r ) für x = 0, 1, 2.
Dann soll jedem Wertsysteme Hi • ■ • Hr eine Verschiebung längs
einer Geraden entsprechen, und alle diese Transformationen
müssen eine Gruppe bilden, der jede Transformation angehört,
welche man durch Verbindung irgend zweier ihrer Transforma
tionen erhält. Die vollständige Lösung dieser Aufgabe würde
uns hier zu weit führen; wir wollen nur darauf hinweisen, dafs
sich die Funktionentheorie in der letzten Zeit mehrfach mit einer
Aufgabe befafst hat, die etwas allgemeiner ist, als die hier gestellte,
und deren Lösungen auch für den vorliegenden Zweck benutzt
werden können. 40 )
Nur eine Bemerkung mufs hier noch angebracht werden.
Wenn für die Raumform mehrere von einander unabhängige
Transformationen bestehen, so ist es überhaupt unmöglich, sie
als Ganzes in sich zu bewegen. Die Geraden, längs derer eine
Verschiebung möglich ist, müssen nämlich eine diskontinuierliche
Schar bilden. Es läist sich aber keine stetige Bewegung der
Lobatschewskyschen Ebene in sich angeben, bei der dies System
von Geraden fortwährend in sich verbleibt. Während also bei
den früher gefundenen Raumformen wenigstens spezielle Bewe
gungen gestatteten, auf die Raumformen als Ganze übertragen
zu werden, ist das bei diesen Raumformen überhaupt nicht
möglich.
§ 8.
Dreidimensionale Raumformen verschwindender Krümmung.
Bei einem dreidimensionalen euklidischen Raume hat man
drei Arten von gleichförmigen Bewegungen zu unterscheiden:
die erste besteht in einer mit einer Verschiebung verbundenen
