Die Clifford-Kleinschen Raumformen. 
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Linie gefunden werden können, die von irgend einem andern 
Punkte ausgeht. Aber betrachtet man nur z. B. die sämtlichen 
Geraden, welche von demselben Punkte ausgehen, so werden 
diese in ihrem Verlaufe nicht voll übereinstimmen; so geht in 
den betrachteten Raumformen von jedem Punkte mindestens eine 
geschlossene Gerade aus; sind mehrere Gerade geschlossen, so 
werden sie keineswegs sämtlich die gleiche Länge besitzen; zudem 
gehen von jedem Punkte auch unendliche Gerade aus. Aber 
selbst die Gleichförmigkeit des Raumes in Bezug auf die einzelnen 
Punkte besteht nicht allgemein. Wir lernten (§ 8 S. 333) unter 
der Annahme, dafs die Winkelsumme eines jeden geradlinigen 
Dreiecks zwei Rechte beträgt, eine Raumform kennen, bei welcher 
eine einzige gerade Linie vor allen andern bevorzugt ist. Alle 
diese Eigenschaften sind auf den ersten Blick höchst befremdlich 
und fordern jeden, der sich die Mühe einer genauen Prüfung 
nicht geben mag, fast zur Ablehnung heraus. 
Ganz anders aber mufs das Urteil lauten, wenn man sich 
diese Mühe nicht verdriefsen läfst. Gewifs, die neuen Raum 
formen können nicht durch jede Bewegung, welcher ein fester 
Körper unterworfen werden kann, in sich als Ganze bewegt 
werden. Aber das kann unmöglich ein Grund sein, ihre Be 
rechtigung zu leugnen. Der Raum kann ja überhaupt nicht bewegt 
werden; wenn der Ausdruck: Bewegung des Raumes bisher oft 
gebraucht ist (und gewifs auch ferner noch oft benutzt wird), so 
findet jeder, der genauer über die Sache nachdenkt, hierin nur 
einen kurzen Ausdruck für diejenigen Sätze, welche wir in § 4 
(S. 291) entwickelt haben. 
Sobald man sich aber klar macht, was dieser an sich uner 
laubte Ausdruck besagt, erkennt man sofort, dafs die neuen Raum- 
tormen berechtigt sind. Bewegung kann nur einem Körper bei 
gelegt werden; sobald zwei feste Körper starr mit einander 
verbunden sind, wird die Bewegung des einen auch notwendig 
eine gewisse Bewegung des andern nach sich ziehen. Die feste 
Verbindung beider kann aber auf ganz verschiedene Weise und 
durch verschiedene Körper bewirkt werden. Jetzt ist aber die 
Voraussetzung, dafs die für den zweiten Körper vermittelte Be 
wegung von den verknüpfenden Körpern unabhängig ist, an sich 
gleichberechtigt mit der Annahme, dafs die vermittelte Bewegung