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Vierter Abschnitt. § 10. 
derjenigen Fehlergrenzen bleibt, welche selbst bei Anwendung 
der vorzüglichsten Apparate nicht vermieden werden können. 
Daraus haben wir in den beiden ersten Abschnitten den Satz 
hergeleitet, dafs für ein solches Gebiet drei Möglichkeiten bestehen. 
Dementsprechend unterschieden wir Raumformen von positivem, 
verschwindendem und negativem Krümmungsmafs oder von einem 
andern Gesichtspunkte aus elliptische, parabolische und hyperbo 
lische Raumtormen. Zwar haben wir zuweilen im ersten Abschnitt, 
namentlich in den §§ 9—21, bereits den Raum als Ganzes be 
trachtet; aber das geschah, um das erste Eindringen in ein noch 
unbekanntes Gebiet zu erleichtern. 
Nehmen wir jetzt an, es sei entschieden, welche Gesetze 
für ein allseitig begrenztes Gebiet des Raumes gelten, es sei also 
ausgemacht, ob er elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch sei, 
so wissen wir doch noch nicht, wie sich die einzelnen Teile des 
Raumes zu einem Ganzen vereinigen. Schon im ersten Abschnitt 
landen wir zwei elliptische Raumformen, die Riemannsche und 
ihre Polarform. Der vorliegende Abschnitt zeigt uns aber, dafs 
nach dieser Richtung hin eine aufserordentlich grofse Mannig 
faltigkeit besteht. Um die verschiedenen Fälle übersehen und 
gruppieren zu können, ist es am einfachsten, von der Bewegung 
eines starren Körpers auszugehen. Erteilen wir einem solchen 
Körper eine Bewegung, so wird für jeden mit ihm durch weitere 
Körper verbundenen neuen Körper eine gewisse Bewegung ver 
mittelt. Die neue Bewegung hängt ab von der Lage der beiden 
Körper im Raume und von der Bewegung, welche der erste 
Körper macht. Es fragt sich aber, ob sie nicht auch von der 
Art der Verbindung abhängt, die zwischen den beiden Körpern 
besteht. Unter der Voraussetzung, dafs es auf diese Verbindung 
nicht ankommt, erhalten wir nur eine parabolische, eine hyper 
bolische und zwei elliptische Raumformen. Prüfen wir aber die 
Möglichkeit, dafs auch die Art der Verbindung auf die neue Be 
wegung von Einflufs ist, so stofsen wir auf keinen innern Wider 
spruch; wir linden vielmehr eine grofse Reihe neuer Raumformen, 
von denen wir auf den vorangehenden Seiten nur einige wenige 
erwähnt haben. Sie einzeln aufzuzählen, war uns nicht möglich; 
um so wichtiger schien es uns, das Prinzip anzugeben, aus dem 
sich alle herleiten lassen.