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Litteratur-Nachweis. 
ausgegangen und habe auch sonst kleine Änderungen vorgenommen. Die 
analytische Herleitung der Kreisfunktionen ist elementaren Lehrbüchern 
entlehnt. 
10 ) I § 16. S. 49. Das benutzte Koordinaten - System ist im Anschlufs 
an eine Bemerkung Beltramis von Hrn Weierstrafs aufgestellt und hat 
in meinen Arbeiten viele Verwendung gefunden. 
n ) I § 18. S. 54. Die Theorie des »endlichen Raumes« wurde i. J. 
1854 von Riemann kurz entwickelt in der Arbeit: Über die Hypothesen, 
welche der Geometrie zu Grunde liegen, (Göttinger Abhandlungen 1867. 
Werke S. 254 ff.) Darauf folgten mehrere Arbeiten des Hrn v. Helmholtz: 
Yerh. d. naturh.-med. Vereins zu Heidelberg, B. IV und V; Göttinger geh 
Nachrichten 1868; Mind 1878 (wieder abgedruckt im B. II der ges. Werke 
S. 610—660); populäre wissensch. Vorlesungen, Heft III, sowie die oben 
genannten Abhandlungen des Hrn Beltrami, in denen zuerst diese Raumformen 
eine eingehende Untersuchung gefunden haben. Alle diese Herleitungen sind 
analytisch; wenn auch später einzelne Sätze synthetisch bewiesen sind, so 
fehlte doch bisher eine rein synthetische Begründung dieser Raumformen. 
12 ) I § 18. S. 57. Klein, Über die sog. nicht - euklidische Geometrie, 
math. Annalen B. IV, VI, sowie dessen Anzeige von Frischaufs Elementen 
in den Fortschritten der Mathematik B. X. 
Newcomb, elementary theorems relating to the geometry of a space 
of three dimensions and of uniform positive curvature, Borchardts Journ. B. 83. 
Killing, über zwei Raumformen von konstanter positiver Krümmung, 
Borchardts Journal B. 86. 
13 ) I § 19. S. 64. Die gegenseitige Lage zweier Geraden ist im wesent 
lichen bereits entwickelt in: Lindemann, über unendlich - kleine Bewegungen 
bei allgemeiner projektivischer Mafsbestimmung, math. Annalen B. VII; einzelne 
Sätze auch bei Newcomb (1. c.). Eine vollständige Theorie gab Clifford: 
Sketch of Biquaternions (Proc. of the L. math. Soc. Vol. IV, sowie math. 
Papers S. 181) und in mehreren hinterlassenen Arbeiten. 
14 ) I § 20. S. 69. Die Beziehung der Riemannschen Raumform zu ihrer 
Polarform wurde zuerst in meiner unter 12 ) angegebenen Arbeit dargelegt. 
Auf die Einwendungen, welche Hr. Klein (math. Annalen B. XXXVII) gegen 
die Bezeichnung »Polarform« erhoben hat, glaube ich nicht eingehen zu sollen; 
sie erledigen sich von selbst, sobald man beachtet, dafs der Kleinsche Raum 
sowohl die Polarform des Riemannschen Raumes als auch seine eigene Polar 
form ist. Auf das Programm des Hrn M. Simon (Lyceum, Strafsburg 1891) 
werden wir im zweiten Bande näher eingehen. 
15 ) I § 23. S. 77. Un precursore italiano di Legendre e di Lobat- 
schewsky. Nota del socio E. Beltrami, Rendiconti della R. accademia dei 
lincei 1889. 
lfi ) I § 23. S. 79. Stolz, Über das letzte Axiom der Geometrie, Berichte 
des naturw.-mediz. Vereins in Innsbruck 1886. 
17 ) I § 24. S. 80. Zuerst mitgeteilt in meiner Abh.: Die Rechnung in 
den nicht-euklidischen Raumformen, Borchardts Journal B. 89; weitläufiger 
dargestellt in dem Buche: Die nicht-euklidischen Raumformen (Leipzig 1885).