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Litteratur-Nachweis. 
X t = p, X 2 — q, X 3 = r, X 4 = yr — zq, X 3 = zp — xr, 
X 6 =xq — yp, X 7 =xp + yq + zr. 
Während die Transformationen X 1; X 2 , X 3 mit einander vertauschbar 
sind, ist: 
(X t X 4 ) = 0, (XjX 5 ) = — X 3 , (X 1 X 6 ) = X 2 u. s. w. 
(X 4 X 3 )= —X 6 , (X 5 X 6 ) = —X 4 , (X 6 X 4 ) = -X 5 
(X 1 X 7 ) = X 1 ,...(X 4 X 7 )=...==0. 
Die sämtlichen Transformationen (X a X^) für a, ß—1... 7 gehören also 
einer sechsgliedrigen Gruppe an, welche durch X 4 ... .X 6 bestimmt wird. Wir 
wollen beweisen, dafs es keine andere reelle sechsgliedrige Untergruppe giebt. 
Kommt nämlich in einer solchen Untergruppe eine inf. Transformation 
Z 6 = StjiXi für 1 = 1... 7 vor, wo rj 7 von null verschieden ist, so kann man 
die übrigen inf. Transformationen Z 4 .. ,Z 3 , durch die die Untergruppe bestimmt 
wird, so wählen, dafs in ihrem Ausdruck die Transformation X 7 nicht vor 
kommt. Dann darf man die inf. Transformationen Z 4 . .. Z 3 entweder in 
der Form 
Xi, X-2, X 3 , Z 4 = aX 4 —/?X 3 —j— yX 6 , Z 3 = a X 4 -f- ß X 3 -J- y X 6 
oder in der Form 
Zx = arXj AX 2 + /zXg, Z 2 = x X x -f- /'X 2 -J- /¿'Xg, X 4 , X 3 , X 6 
voraussetzen. Im ersten Falle mufs auch die durch die Operation (Z 4 Z 3 ) 
erhaltene Transformation der Gruppe angehören, und da hierin nur X 4 , X 3 , X ß 
Vorkommen, mufs sie linear aus Z 4 und Z 3 zusammengesetzt sein. Man kann 
also geradezu (Z 4 Z 3 ) = cwZ 3 setzen. Dann müssen die Gleichungen erfüllt sein; 
a'oj + ß'y — ßy' — 0 
— ay + ß'aj + ay' = 0 
aß — aß' y'oj = 0, 
oder es mufs sein: 
fc) 2 + a 2 -)- ß- + y 2 — 0, 
was unmöglich ist. 
Im zweiten Falle mufs die durch Kombination von Z 4 mit X 6 erhaltene 
Transformation ^X 2 — /X 1; sowie die Transformation *rX t , welche man durch 
Kombinierung der letzten mit X 3 erhält, in der Gruppe enthalten sein. Verfährt 
man ebenso mit Z 2 , so ergiebt sich, dafs in der Untergruppe die Transfor 
mation X 7 enthalten ist, wofern nicht die Koeffizienten x und x beide ver 
schwinden. Dann dürfen aber auch die Transformationen X2 = (X t X 6 ) und 
X 3 = — (XjXö) nicht fehlen. 
Der am Schlüsse des § angegebene Weg, von der Projektivität zur 
Metrik überzugehen, dürfte im 43. B. der Annalen (Zur projektiven Geometrie 
§ 2) seine Veröffentlichung finden. 
* 7 ) III § 2. S. 172. G. Cantor, Borchardts’ Journal B. 84. Netto, 
daselbst B. 86. Peano, math. Annalen B. 36. Hilbert, Annalen B. 38. 
28 ) III § 3. S. 173. Weierstrafs’ Brief an P. du Bois-Reymond 
(Borchardts Journal. B. 79, S. 29). W., Abhandl. zur Funktionenlehre (Berlin 
1886). Wiener, Borchardts Journ. B. 90. Cellerier, Bulletin des Sciences 
math. 1890.