Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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te sind, so ist 
i nicht kleiner 
l, C, E Rechte 
BC senkrecht, 
iatze BF ¡> CE. 
dnien CB und 
Hypotenuse 
neu gröiser ist 
lete im ersten 
i die in Fig. 2 
A.D = AB ist. 
iber die Summe 
lie AB von DE 
i werden. Da 
so mufs EDB 
folgt der Satz 
inen Schenkels 
^grenzt, wenn 
eitel genügend 
geben ist, und 
;n, dafs es aut 
einen Punkt L 
, für welchen 
ron L auf AX 
te Senkrechte 
er ist als G. Zum 
äse nehme ich 
Y beliebig den 
t B an und fälle 
_]_ AX; man 
n B die Senk- 
F trifft. Dann 
die Senkrechte 
DG auf BF fällt, so ist DF entweder = DG oder DG; 
ersteres, wenn F mit G zusammenfällt, letzteres im andern Falle, 
da dann DF Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks DFG ist. 
Nun ist die Summe der Winkel des Dreiecks ABC < 2 R, folglich 
<£ DBG > BAC, also (nach c) auch DG > BC. Somit ist 
schliefslich DE > 2BC. 
Wiederhole ich dieselbe Konstruktion hinreichend oft, so mufs 
sich eine ganze Zahl v finden, für welche v . BC k> G ist; folglich 
giebt es Punkte L von der verlangten Eigenschaft. 
e) Gegeben sei eine unbegrenzte Gerade AB und aufserhalb 
derselben ein Punkt P. Von P fallen wir auf AB die Senkrechte 
PQ (Fig. -1) und errichten in P die Senkrechte PMN auf PQ. 
Dann kann MN die AB nicht 
schneiden, 
jeder in P 
HalN 
Dasselbe gilt von 
begrenzt gedachten jvp 
N 
.geraden PS, welche gegen 
MN in der entgegengesetzten 
Halbebene liegt, als AB. Entweder 
wird nun jede Halbgerade PT, 
welche in einem der Winkel 
felder QPM und QPN liegt, die 
AB treffen, oder es giebt solche, 
für welche das nicht der Fall ist. 
geht durch P nur die 
eine 
““ lv “ & 
keinen Punkt gemeinschaftlich hat 
Wenn das erstere eintritt, so 
gerade Finie MN, welche mit AB 
Ziehen wir nun von P eine 
Gerade PC nach einem beliebigen Punkte C von QA, und legen 
den Winkel QCP als Wechselwinkel in P an PC, so mufs, da 
der zweite Schenkel desselben die AB nicht treffen darf, dieser 
zweite Schenkel mit PM zusammenfallen, Macht man also auf 
PM die PF = QC, so steht CE auf AB und MN senkrecht. Da 
aber C aut AB willkürlich gewählt werden kann, so folgt, dafs 
jede Gerade, welche auf AB senkrecht steht, auch MN rechtwinklig 
trifft, und dafs jede gemeinschaftliche Senkrechte gleich PQ. ist. 
Errichtet man aber in einem beliebigen Punkte zwischen P 
und Q eine Senkrechte M'N' aut PQ, so trifft diese keine der 
beiden Linien Aß und MN. Jede Linie durch. P, mit alleiniger 
Ausnahme von MN, trifft aber die AB, folglich auch jedesmal 
die M'N'.