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Erster Abschnitt. § 10. 
Endlich sei K ein beliebiger Punkt auf der Verlängerung von 
PQ über P hinaus. Man trage darauf, so oft es angeht, die PQ 
von P aus ab. Die weiteren Endpunkte seien P l3 P 2 . . . P n , so 
dafs P n K < PQ ist. Dann errichte man in den einzelnen Punkten 
Pi ... P n , K die Senkrechten M t Ni, ..., M n N n , M n ; + t N n + i auf 
dieser Geraden. Dann geht, wie bereits bewiesen, durch K eine 
einzige Parallele zu M n N n . Zieheich also eine von M n +1 N n + | 
verschiedene Gerade 1 durch K, so trifft diese die M n N n . Da 
aber jeder Punkt auf M„N n nach dem vorhin Bewiesenen von 
M n _iN n _i den Abstand PQ hat, also durch jeden Punkt auf 
MnNn nur die eine Gerade geht, welche die M n _ 1 N n — i nicht 
trifft, so schneidet 1 auch die M n _iN n _i u. s. w. Somit geht 
durch jeden Punkt der Ebene eine einzige Gerade, welche zu 
einer gegebenen Linie der Ebene parallel ist. 
§ 10. 
Zwei gerade Linien in einer Lobatschewskysehen Ebene. 
a) Wir betrachten von jetzt an nur die zweite in § 9 e) 
aufgestellte Möglichkeit. Es möge sich also im Winkelfelde QPM 
eine weitere Halbgerade ziehen lassen, welche die QA nicht trifft. 
Dann giebt es jedenfalls in diesem Winkelfelde noch weitere Halb 
gerade von derselben Eigenschaft, und infolge der Stetigkeit mufs 
eine gewisse Halbgerade PC die Grenze zwischen den schnei 
denden und nicht schneidenden Halbgeraden sein. Es soll also 
jede im Winkelfelde QPC gelegene Halbgerade schneiden; aber 
die im Winkelfelde MPC gele 
genen sollen nicht schneiden. 
Macht man <£ QPD = QPC, 
so werden PC und PD für alle 
durch P begrenzten Halbgeraden 
die Grenze zwischen den schnei 
denden und nicht schneidenden 
sein. Verlängern wir PC über P 
als PC und ebenso PD als PD, so 
sollen die Geraden CG' und DD 
als die durch P gezogenen Parallelen zu AB, und jede in den 
beiden Scheitelwinkeln CPD und CPD enthaltene Gerade als 
nicht-schneidende bezeichnet werden.