Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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ngerung von 
geht, die PQ 
J 2 • • - Pn, SO 
Inen Punkten 
f i N n - + i auf 
durch K eine 
M n -(. 1 NII 4- 1. 
M n N n . Da 
viesenen von 
en Punkt auf 
jNn-i nicht 
Somit geht 
welche zu 
len Ebene. 
te in § 9 e) 
telfelde QPM 
A nicht trifft, 
weitere Halb- 
tetigkeit mufs 
den schnei- 
Es soll also 
meiden; aber 
e MPC gele 
it schneiden. 
>J?D = QPC, 
d PD für alle 
i Halbgeraden 
n den schnei 
schneidenden 
vir PC über P 
PD als PD', so 
CG' und DD 
jede in den 
e Gerade als 
Der Schlufs des vorigen Paragraphen zeigt, dafs eine ganz 
entsprechende Voraussetzung für jeden Punkt der Ebene gemacht 
werden mufs. 
Der Winkel QPC wird von Lobatschewsky als der zum 
Abstand QP gehörige Parallelwinkel bezeichnet; derselbe kann 
sich offenbar mit dem Abstande ändern. 
b) Fällt man von C die Senkrechte C R auf AB, so mufs 
nach § 9 a) die CR >> PQ sein. . Ferner mufs CR die PD 
treffen, etwa in S; dann ist CR>»CS, und somit auch gröfser 
als die von C auf PD gefällte Senkrechte. Da die letztere aber 
nach § 9 d) über jede Gröfse wächst, wenn man nur PC' hin 
länglich grofs nimmt, so wird auch die Linie C'R unbegrenzt 
wachsen. Somit giebt es auf jeder Linie, welche zu einer Geraden 
parallel ist, Punkte, deren senkrechter Abstand von der Geraden 
über alle Grenzen anwächst. 
c) Ganz Entsprechendes gilt von der Geraden PM. Fällt 
man von M die Senkrechte MT auf AB, so schneidet dieselbe 
die PC, etwa in U; dann ist MT MU, und da letztere beliebig 
grofs gemacht werden kann, wenn man nur M weit genug von 
P wegrücken läfst, so erlangt der Abstand der auf PM gelegenen 
Punkte von AB jede beliebige Gröfse. Die kürzeste Entfernung 
der beiden Linien ist die gemeinschaftliche Senkrechte; von da 
an entfernen sie sich nach beiden Richtungen unbegrenzt von 
einander. 
d) Nehmen wir jetzt an, die Geraden EF und AB hätten 
eine gemeinschaftliche Senkrechte h, welche kleiner wäre als PQ. 
Dann mufs auf der Geraden 
EF ein Punkt liegen, dessen 
Abstand von AB gleich PQ 
ist. Folglich kann man (Fig. 6) 
durch P im Winkelfelde QPM 
eine Gerade ziehen, welche 
mit AB eine gemeinsame 
Senkrechte von der Länge h 
hat. Diese Gerade sei PH, 
und es stehe KI auf PH und AB senkrecht und sei gleich h. 
Dann müssen (nach a) durch K im Winkelfelde HKI noch andere 
gerade Linien gezogen werden können, welche AB nicht treffen.