Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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f) Demnach können wir jetzt auch den Satz d) umkehren 
und sagen: 
Wenn sich eine gerade Linie nach der einen Richtung hin 
einer zweiten unbegrenzt nähert, ohne sie je zu treffen, so ist 
sie zu ihr parallel. 
Wenn daher eine Gerade PC für den Punkt P eine Parallele 
zu AB ist, so ist sie es auch für jeden andern ihrer Punkte; 
ebenso gilt die Eigenschaft des Nicht-Schneidens für alle Punkte 
der betreffenden Geraden, wenn sie für einen gilt. 
Wenn in der Ebene eine Gerade AB gegeben ist, so zer 
fallen die sämtlichen übrigen Geraden in drei Klassen : 
1. schneidende Gerade, welche mit AB einen Punkt gemein 
schaftlich haben, 
2. parallele Gerade, welche sich der AB nach der einen 
Richtung unbegrenzt nähern, ohne sie je zu treffen, und sich nach 
der andern von ihr unbegrenzt entfernen, 
3. nicht schneidende Gerade, deren Abstände ein bestimmtes 
Minimum besitzen; von da ab entfernen sich die Punkte der nicht 
schneidenden unbegrenzt von AB. 
g) Beim Ausdruck des Parallelismus von geraden Linien 
wollen wir zugleich die Richtung angeben, nach welcher hin sich 
die Geraden einander unbegrenzt nähern; so soll heifsen, PC sei 
zu BA parallel, dals die Richtungen PC und BA eine unbegrenzte 
Annäherung besitzen. 
h) Aus den Sätzen d) und e) ergiebt sich weiter, dafs, wenn 
PC zu BA, auch BA zu PC parallel ist, und dafs, wenn PL zu 
den nicht-schneidenden Linien für AB gehört, dies auch umge 
kehrt gilt. 
i) Wenn drei Geraden in einer Ebene liegen und wenn zwei 
von ihnen der dritten nach derselben Richtung hin parallel sind, 
so sind sie auch unter einander parallel. 
Wenn AB zu CD und zu EF parallel ist, so kann man einen 
Punkt auf AB bestimmen, dessen senkrechter Abstand sowohl 
von CD wie von EF beliebig klein ist; diese Abstände seien k 
und l; dann ist die Verbindungslinie der Fufspunkte schon kleiner 
als k -j- 1, daher um so mehr der senkrechte Abstand.