Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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(Fig. 19) 
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k 2 p = Ch -- ^k 2 pCh ™ — kxSh^ cos e — ky Sh^ sin • 
Indem wir Ch 2 , r —1 durch Sh 2 ersetzen und durch Sh- divi- 
k k k 
dieren, erhalten wir als Gleichung der geraden Linie: 
j* X X 
kp Sh — xdi^ cos 6 — yCh^ sin s — 0. 
Dieselbe ist homogen und linear in den Koordinaten, und 
zwischen den Konstanten e, a, b in ihrer Gleichung: 
ep -j- ax -f- by — 0 
besteht die Gleichung: 
e 2 
— i-i + a 2 +b 2 = l. 
k 2 
Soll umgekehrt die Gleichung ep ax -f- by — 0 eine Gerade 
e 2 
darstellen, so mufs a 2 -f- b 2 —0 sein. 
Für den Raum gehen wir von drei auf einander senkrecht 
stehenden Ebenen aus, welche sich in O treffen. Zur Bestimmung 
des Punktes P fällen wir die Senkrechten PA, PB, PC auf die 
Ebenen, und setzen: 
rl OP 1Q ,PA 1C1 PB , C1 PC 
Gh-j^ = p, kSh = x, kSh-g- = y, kSh- ^ = z. 
Wenn OP mit den Koordinatenebenen die Winkel (p, (p, cp" 
bildet, so ist auch: 
X x X 
x = kShj_ sin (p, y = kSh^ sin <//, z = kShj- sin <p". 
Jetzt besteht also die Beziehung: 
k 2 p 2 — x 2 — y 2 — z 2 = k 2 . 
Umgekehrt, wenn zwischen vier Gröfsen p, x, y, z diese 
Beziehung besteht und p 1 ist, so genügen sie zur Bestimmung 
eines und zwar eines einzigen Punktes. 
Die Entfernung e zweier Punkte (p, x, y, z) und (p', x', y', z') 
wird durch die Formel bestimmt: 
£ 
k 2 Ch^ = k 2 pp' — xx' — yy' — zz. 
Ebenso wird jede Ebene durch eine Gleichung von der Form 
dargestellt: