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Erster Abschnitt. § 17. 
ep -f ax + by -{- cz — 0, 
wo — f -f - a 2 b 2 -}- c 2 4> 0 ist. 
k a 
Der Beweis der letzten Sätze ist wesentlich identisch mit 
dem der entsprechenden Sätze der Ebene. 
Der wirkliche Aufbau der Geometrie vermittelst der Analysis 
dürfte hier nicht notwendig sein. 
§ 17. 
Vergleichung der Geometrie auf der Kugelfläche mit der 
der Ebene. 
In § 14 traten uns Kugelfläche, Grenzfläche und Fläche 
gleichen Abstandes in mancher Beziehung als gleichberechtigt ent 
gegen. Die Grenzfläche zeigt die Eigenschaften der euklidischen, 
die Fläche gleichen Abstandes die der Lobatschewskyschen Ebene. 
Eine Vergleichung beider ergiebt sich aus den vorstehenden Unter 
suchungen, braucht also nicht weiter durchgeführt zu werden. 
Wir haben jetzt noch die Aufgabe, die Kugelfläche genauer mit 
der Ebene zu vergleichen. 
Zuvörderst ist der Grad der Beweglichkeit für beide Flächen 
derselbe. Man kann auch die Kugelfläche so in sich bewegen, 
dafs ein Punkt in die Lage eines beliebigen andern Punktes gelangt, 
und dann kann man die Fläche noch bei der Ruhe eines Punktes 
so drehen, dafs jeder bewegte Punkt eine geschlossene Linie 
(einen Kreis) beschreibt. Demnach kann man die Fläche so in 
sich verschieben, dafs ein Punkt und eine davon ausgehende 
Richtung in Deckung gelangt mit einem zweiten Punkte und einer 
davon ausgehenden beliebig gewählten Richtung. Gleichwie die 
Gerade die kürzeste Linie auf der Ebene, ist der Hauptkreis (die 
Hauptlinie) die kürzeste Linie auf der Kugel. Durch jeden Punkt 
geht eine einfach unendliche Schar von Hauptlinien. Jede Haupt 
linie kann in sich verschoben werden; man kann aber auch die 
Fläche so in sich bewegen, dafs die Hauptlinie umgekehrt in 
Deckung mit ihrer Anfangslage gelangt. 
Aber auf der Kugel ist die Hauptlinie geschlossen, und zwei 
Hauptlinien der Kugel schneiden sich immer in zwei Punkten, 
einem Punkte und seinem Gegenpunkte. Infolgedessen erleidet 
der Satz, dafs durch zwei Punkte eine einzige Hauptlinie geht,