54 
Erster Abschnitt. § 18. 
§ 18. 
Die Gerade als geschlossene Linie vorausgesetzt. 
a) Wir verfolgen jetzt die Voraussetzung, dafs die gerade 
Linie geschlossen ist. 11 ) Dabei müssen alle Sätze Euklids, in 
deren Ausspruch und bei deren Beweise die Unendlichkeit der 
Geraden weder direkt noch indirekt vorausgesetzt wird, unver 
ändert bestehen bleiben. Das gilt also z. B. für die Sätze vom 
gleichschenkligen Dreieck, ferner für die in §11 a—e angege 
benen Sätze. 
b) Da alle Geraden einander kongruent sind, haben sie auch 
alle dieselbe Länge. Gehen jetzt von einem Punkte A zwei 
gerade Linien AB und AG aus, so müssen sie notwendig einmal 
wieder Zusammentreffen, und zwar, wenn es nicht schon früher 
geschieht, im Punkte A, von dem aus beide Gerade wieder ihre 
frühere Bahn fortsetzen. Wir bezeichnen den ersten Schnittpunkt 
der Geraden. AB und AG von A aus mit A', (wobei wir die 
Möglichkeit zulassen, dafs A' mit A identisch ist). Dann ist jeden 
falls die Länge ABA gleich der von AGA'. 
Man beweist dies etwa dadurch, dafs man die Figur in eine 
Lage bringt, in welcher die Richtung AB mit der Richtung AG 
vertauscht ist. 
c) Treffen sich die Geraden AB und AG zuerst in A' wieder, 
so ist der Winkel, den die Geraden in A einschliefsen, gleich 
dem von ihnen in A' gebildeten Winkel. 
Man drehe die Figur in ihrer Ebene um den Punkt A, bis 
AB in die Richtung AG fallt; dann möge AG die Lage AD an 
nehmen. Da aber der Schnittpunkt von AG und AD auf AG 
fällt und ABA' = AGA' ist, so fallt auch der Schnittpunkt von 
AG und AD auf A'. Fährt man hiermit fort, so mufs nach einer 
endlichen Zahl von Wiederholungen AB entweder in die Anfangs 
lage zurückkehren oder zum erstenmale in das Winkelfeld BAG 
fallen. Dasselbe mufs dann aber für A B gelten. Gelangt AB in 
die Anfangslage zurück, so gilt dasselbe von AG, und es ist 
sowohl BAG wie BA G gleich “ n für ein ganzzahliges n. Ist 
n 
das nicht der Fall, so liegen beide Winkel zwischen - n und 
D n