l liegenden 
an in der 
eige, dafs 
;h A' geht. 
V erfahrens 
'enzt nahe 
A bis zum 
sämtliche 
iahen, 
ide Linie; 
senkrecht 
wegen der 
\ T = LAA' 
, bis auch 
Kinkel von 
rei Seiten, 
jeden mit 
MAN = (f 
st AA' = 
sgehenden 
entweder 
;ren Punkt 
; zwischen 
beschreibt 
nfangslage 
i Deckung 
r Drehung 
von zwei 
Winkel n 
also zum 
sgehenden 
eit ergiebt 
also über- 
Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 57 
haupt je zwei gerade Linien höchstens einen Punkt gemeinschaftlich 
haben. 
Wenn aber die Drehung n noch nicht den Punkt M in seine 
Anfangslage, sondern in einen von M verschiedenen Punkt M' 
führt, so mufs doch bei der Drehung 2 n jeder um A beschriebene 
Kreis vollständig durchlaufen sein, also mufs hierdurch auch M 
wieder in seine Anfangslage gelangen. Dann ist MM' die Hälfte 
der ganzen Geraden. Folglich ist auch der Punkt A' vom Punkte A 
verschieden, und alle Geraden, welche von einem Punkte aus 
gehen, begegnen sich noch in einem zweiten Punkte, dem Gegen 
punkte des ersten; durch zwei Gegenpunkte wird jede hindurch 
gehende Gerade in zwei gleiche Teile zerlegt. 
i) Dadurch sind wir auf zwei, sich gegenseitig ausschliefsende 
Möglichkeiten, zwei Raumformen geführt. Wir werden beide im 
folgenden genauer untersuchen und zeigen, dafs keine von ihnen 
zu einem Widerspruche führt. Um die Untersuchung möglichst 
gleichförmig zu machen, legen wir für den Fall zweier gemein 
schaftlicher Punkte der Geraden die Länge 2k/r bei; wenn dagegen 
zwei von demselben Punkte ausgehende gerade Linien nur diesen 
einen Punkt gemeinschaftlich haben, so bezeichnen wir die Länge 
der geraden Linie mit k;r. Die erste Möglichkeit wurde zuerst 
von Riemann angegeben und soll daher die Riemannsche Raum 
form heifsen; auf die zweite wurden die Herren Klein und 
Newcomb 12 ) geführt, ohne indessen zu erkennen, dafs die Rie 
mannsche Raumform ebenfalls berechtigt ist. Beide Raumformen 
werden häufig wegen der endlichen Länge der geraden Linie 
selbst als endlich bezeichnet. Wir wenden uns zunächst der Rie 
mannschen Geometrie zu. 
S 19. 
Die einfachsten Gebilde des Riemannschen Raumes. 
a) Wenn jeder Punkt von seinem.Gegenpunkte verschieden 
ist, so geht jede Gerade, sowie jede Ebene, welche einen Punkt 
P enthält, auch noch durch den Gegenpunkt P hindurch. Eine 
Gerade, welche mit einer Ebene zwei Punkte gemeinschaftlich 
hat, iälit daher ganz in die Ebene hinein, wofern nur die Punkte 
nicht Gegenpunkte von einander sind.