Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen. 
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von ce durch eine gerade Linie, so steht dieselbe auf « senkrecht. 
Überhaupt trifft jede durch A gelegte Gerade die Ebene a senk 
recht, und jede auf a errichtete Senkrechte geht durch A. und A, 
da die Verbindungsgerade ihres Fufspunktes mit A auf « senkrecht 
steht und es in jedem Punkte der Ebene nur eine auf ihr senk 
rechte Gerade giebt. 
Ist aber eine zweite Ebene ß gegeben, so können wir die 
selbe mit u zur Deckung bringen; in dieser neuen Lage geht 
jede ihrer Senkrechten durch A und A. Somit sind auch der 
Ebene ß zwei Punkte B und B' in derselben Weise zugeordnet, 
wie A und A' zu u. Die beiden Punkte, welche Gegenpunkte 
von einander sind, heifsen die Pole der Ebene, letztere die Polar 
ebene jedes der beiden Punkte. 
e) Indem man jedem Punkte seine Polarebene zuordnet, kann 
man jeder Mannigfaltigkeit von Punkten eine solche von Ebenen 
zuordnen und umgekehrt. Um die letztere Zuordnung eindeutig 
zu machen, ordnet man der Ebene einen ihrer Pole willkürlich 
zu; dann setzt man fest, dafs einer stetigen Folge von Ebenen 
auch eine stetige Folge von Punkten entsprechen soll. Die vor 
stehende Zuordnung ist reziprok: Ist dem Punkte 1 die Ebene I 
zugeordnet, und wird in der Ebene I ein Punkt 2 angenommen, 
so geht dessen Polarebene II durch den Punkt 1 hindurch. 
Dies folgt daraus, dafs die Entfernung eines Punktes von 
jedem Punkte der Polarebene gleich L k/r ist und dafs alle Punkte, 
welche diese Entfernung haben, in der Polarebene liegen. 
f) Der gröfste Abstand, den ein Punkt von einer gegebenen 
Ebene erlangen kann, beträgt -|-krr, und nur die Pole besitzen 
diesen Abstand. Alle Punkte, welche einen kleineren Abstand a 
von der Ebene haben, gehören zwei Kugeln an, von denen jede 
mit dem Radius (fk/r - a) um einen der Pole als Mittelpunkt 
beschrieben wird. 
Um den Abstand eines Punktes P von einer Ebene I zu 
bestimmen, fällen wir von P auf I die Senkrechte. Die beiden 
Fufspunkte M und M dieser Senkrechten zerlegen in Verbindung 
mit den Polen A und A' der Ebene die Gerade in vier gleiche 
Teile. Einem dieser Teile gehört der Punkt P an, wenn er nicht 
aut der Grenze zweier Teile liegt. Somit ist der Abstand eines 
Punktes von der Ebene nur für die Pole gleich 4- kn. Hat P