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Erster Abschnitt. § 22. 
Ebenso wird die Gleichung der Ebene: 
ep -f- ax -)- by cz — 0. 
Die Polarform des Riemannschen Raumes unterscheidet sich 
dadurch von demselben, dafs, wenn beidemal der Abstand eines 
Punktes von seiner Polarebene gleich 4- kn gesetzt wird, die Länge 
der Geraden im Riemannschen Raume gleich 2 kn, in seiner 
Polarform gleich kn ist. Für die Trigonometrie bleiben also die 
obigen Formeln bestehen. Auch können wir der analytischen 
Behandlung dieselben Koordinaten zu Grunde legen, nur werden 
jetzt die Wertsysteme (p, x, y, z) und (—p, —x, —y, —z) 
denselben Punkt darstellen. Hiernach sind die Formeln für die 
beiden endlichen Raumformen identisch; nur zuweilen tritt bei 
der Deutung ein kleiner Unterschied ein, 
Läfst man k immer gröfser werden oder beschränkt man 
sich auf ein immer kleineres Gebiet, so werden die Formeln 
immer mehr mit denen der euklidischen Geometrie identisch. 
Somit geht einerseits der endliche Raum für ein unendliches 
grofses k in den euklidischen über, andererseits zeigt der endliche 
Raum sich dem euklidischen um so ähnlicher, je kleiner das Gebiet 
ist, welches zur Untersuchung gewählt wird. 
§ 22. 
Vergleichung der verschiedenen Raumformen mit einander. 
Die in den §§ 14 und 15 für die Lobatschewskysche Raum 
form angegebenen Formeln werden aus den im vorigen Para 
graphen mitgeteilten dadurch erhalten, dafs man k 2 mit —k 2 
vertauscht. Man kann daher für die analytische Behandlung des 
Lobatschewskyschen Raumes die Formeln des Riemannschen zu 
Grunde legen, wenn man nur der Gröfse k 2 einen negativen 
Wert beilegt. Dies gewährt den grofsen Vorteil, dafs man in 
den verschiedenen Raumformen stets dieselben Gleichungen be 
nutzen kann, wobei auch der euklidische Raum türk 2 = 00 mit 
eingeschlossen ist. Der Unterschied des Lobatschewskyschen und 
Riemannschen Raumes ergiebt sich vor allem daraus, dafs k 2 p 2 -f- 
x 2 + y 2 + z 2 für ein positives k 2 eine positive definite Form ist, 
d. h. für alle reellen Werte der Variabein einen positiven Wert 
annimmt und nur beim Verschwinden aller Veränderlichen gleich 
null werden kann, während diese Form für ein negatives k 2 auch