Berechtigung der nicht-euklidischen Raumformen.
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Durchschneidet man also die vier Strahlen durch eine zweite
gerade Linie und entsprechen A', B', C, D' den Punkten A, B,
C, D, so mufs dieselbe Gleichung auch für die Punkte A', B',
C', D' bestehen. Nun sind die rechten Seiten der so erhaltenen
Gleichungen identisch, also müssen es auch die linken sein.
Definieren wir also die linke Seite der obigen Gleichung als das
Doppelverhältnis der vier Punkte A, B, C, D, und bezeichnen es
mit (ABCD), so ist
(ABCD) = (A'B'C'D ).
Dieser Satz genügt, um die projektive Geometrie aufzubauen.
Man kann speziell die Kurven und Flächen zweiten Grades rein
projektivisch definieren und vor allem ihre Polareigenschaften
beweisen. Dabei ergeben sich nicht nur die reellen, sondern
auch die imaginären Gebilde zweiten Grades.
Zu demselben Resultat gelangt man von der Gleichung der
Ebene aus. Betrachten wir für die verschiedenen Punkte des
Raumes den Ausdruck ep -(- ax -j- by -\- cz, wo p, x, y, z die in
den §§ 16 und 21 eingeführten Gröfsen sind, so stellt derselbe,
bis auf einen konstanten Faktor, eine bestimmte Funktion
des Abstandes r des Punktes von einer festen Ebene dar. Dem-
gemäfs mögen für die Marke k == 1 ... 4 die Ausdrücke
xr = e k p a k x b k y -f- c k z
eingeführt werden. Dann wird durch das Verhältnis x t :x 2 :x 3 :x 4
ein Punkt oder in der Riemannschen Geometrie ein Paar von
Gegenpunkten bestimmt. In den vier Gröfsen X! . . . x 4 wird
sich aber die Gleichung jeder Ebene homogen linear darstellen,
und bei jeder projektiven Umgestaltung drücken sich die Ver
hältnisse der neuen Koordinaten durch homogene lineare Funk
tionen der alten aus. Damit ist die analytische Grundlage für
die projektive Geometrie gegeben, und man kann sie selbst jetzt
in bekannter Weise auf bauen.
Umgekehrt kann man die projektive Geometrie unabhängig
von jeder Messung begründen und dann von ihr aus zur Metrik
zurückgelangen, ja, die metrischen Eigenschaften rein projektivisch
erklären. Die Wichtigkeit dieser Thatsache und die grofse Zahl
von Erwägungen, welche zur Herleitung des Beweises notwendig
