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Erster Abschnitt. § 22. 
sind, lassen es Tätlich erscheinen, diese Untersuchungen im fol 
genden zweiten Abschnitt abgesondert zu behandeln. 
Aber auch in den metrischen Eigenschaften selbst zeigt sich 
eine grofse Übereinstimmung. Wir müssen uns, da wir nur 
wenige Sätze aus jeder Raumform mitgeteilt haben, auf wenige 
Beispiele beschränken. 
In der Ebene giebt es eine zweifache Unendlichkeit von 
geraden Linien. In der Riemannschen und Kleinschen Ebene 
wird jede Gerade von jeder zweiten geschnitten und besitzt mit 
ihr eine gemeinschaftliche Senkrechte. In der Lobatschewskyschen 
Ebene zerfallen die sämtlichen Geraden in Bezug auf eine gege 
bene gerade Linie in zwei Gruppen, deren jede ebenfalls eine 
zweifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit bildet; die erste Gruppe 
umfafst diejenigen Geraden, welche die gegebene gerade Linie 
schneiden; der zweiten Gruppe gehören diejenigen Linien an, 
welche mit der gegebenen eine gemeinschaftliche Senkrechte be 
sitzen. Als Übergang kommen zwei Scharen von Parallelen hinzu, 
aber jede ist nur einfach unendlich. Zugleich bestimmt die Schar 
der durch denselben Punkt gehenden Geraden, wie die aller Ge 
raden, welche auf derselben Geraden senkrecht stehen, sowie 
endlich die Schar aller, welche zu einer festen Richtung parallel 
sind, jedesmal einen Büschel. 
Ebenso enthält der Raum eine dreifache Unendlichkeit von 
Ebenen. Im Riemannschen Raume wird eine Ebene von jeder 
andern in einer Geraden geschnitten und beide Ebenen haben 
eine gemeinschaftliche Senkrechte. Im Lobatschewskyschen Raume 
hingegen giebt es Ebenen, welche die gegebene schneiden, und 
andere, welche mit ihr eine gemeinschaftliche Senkrechte besitzen; 
beide sind in dreifacher Unendlichkeit vorhanden; der Übergang 
wird von den zweifach unendlich vielen Ebenen gebildet, welche 
zu der gegebenen parallel sind. 
Für die vier Raumformen gilt folgender Satz ganz allgemein: 
Durch drei Punkte läfst sich immer eine einzige in sich verschieb 
bare ebene Linie legen; wird ein vierter Punkt aufserhalb dieser 
Linie angenommen, so läfst sich durch die Linie und den Punkt 
immer eine einzige Fläche legen, welche bei der Ruhe eines 
Punktes noch in sich verschoben werden kann. Die Punkte dieser 
Fläche haben für den Riemannscheu Raum gleichen Abstand sowohl