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Erster Abschnitt. § 24. 
Geometrie als richtig angenommen wird? Die Annahme, für ein 
unendlich kleines Gebiet gälten die Sätze Euklids, kommt aber 
darauf hinaus, alle von Euklid gemachten Voraussetzungen mit 
Ausschlufs der Unendlichkeit der Geraden und des Parallel-Axioms 
beizubehalten. 
Um die gestellte Frage zu beantworten, betrachten wir ein 
Dreieck, in welchem eine Seite und der eine anliegende Winkel 
unveränderliche endliche Gröfse besitzen, während der andere 
an ihr anliegende Winkel unendlich klein wird. Lassen wir im 
Dreieck AEF (Fig. 25) die Seite AE = y, AE = y -f- dy, EF = dx, 
den Winkel AEF = n — ip, EAF 
= dy, AFE = ip -f- dtp sein, so ist 
EF eine Funktion von y, ip und dy. 
Da aber dy unendlich klein ist, so 
mufs EF, wie man leicht beweist, 
mit dy proportional sein. Wir können also setzen: dx = F (y, ip) dy. 
Bezeichne ich den Wert, welchen die Funktion F (y, ip) für ip 
erhält, mit f (y), so wird, wenn ich in E die ED _]_ AE errichte, 
ED = f(y) dy sein. Im Dreieck EDF nähert sich aber <£ EDF 
immer mehr einem rechten; zugleich ist DEF = — — tri,folglich 
ED = EF . sin ip, oder 
(1) dx = 
v ' sin ip 
Die vorstehenden Betrachtungen, soweit sie nicht das Dreieck 
DEF benutzen, können durch folgende ersetzt werden: Der 
Umfang u eines Kreises mit dem Radius r ist offenbar eine Funk 
tion des Radius; man kann also setzen: u = 2Trf(r). Nun ist 
der Bogen dem zugehörigen Centriwinkel proportional, somit ist 
der zu einem unendlich kleinen Winkel dy gehörige Bogen 
— f (r) d y. 
In der obigen Figur wird AD immer näher an AE kommen, 
je kleiner der Winkel A gemacht wird; somit wird DF = dy, 
DEF = ~ — ip, folglich ist: 
EDF 
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2’ 
( 2 ) % = cos V'-