Abschluss der projektiven Geometrie. 
15B 
eine Umgestaltung des Raumes, bei welcher die Ebene x 3 == 0 
in sich verbleibt. Die neue Form mufs also entweder nur ver 
schwindende Koefficienten enthalten oder in der Gruppe (11) 
enthalten sein. Daraus folgt, dafs b 3 =1 = 0 ist. 
Hiernach gehen die Transformationen (13) über in 
^31Рз х 2 c iзРг х з? 
С 31.Рз Х 1 T" C lsPl X 35 
zu denen, wie die Kombination mit x 0 p x und x 0 p 2 zeigt, noch 
x 0 p 3 hinzutritt. Weil aber das Produkt c 18 . c 81 negativ ist, 
kann man durch eine leichte Änderung die Koefficienten ent 
gegengesetzt gleich machen. Die Gruppe enthält also die sechs 
Transformationen: 
(14) x 0 p*, Xip*— Xx pi (i, x = 1, 2, 3). 
Dafs weitere, von diesen sechs unabhängige Transformationen 
der Gruppe nicht angehören können, ohne dafs die über die 
Bewegung der Ebenen x 2 = 0 und x 3 = 0 getroffenen Fest 
setzungen ihre Gültigkeit verlieren, zeigt die Untersuchung in 
§ 4, 2. 
13. Hiernach können wir die Frage beantworten: 
Wie können wir die Bewegung in der allgemeinen Bedeutung 
des Wortes beschränken, um diejenige Bedeutung des Wortes zu 
erhalten, welche die metrische Geometrie bedarf? 
Zwei allgemeine Forderungen sind bereits in 1. aufgestellt. 
Aus den durchgeführten Untersuchungen ergiebt sich ein System 
von speciellen Forderungen, das für unsern Zweck hinzugenommen 
werden kann. An erster Stelle verlangen wir, dafs eine durch 
einen Punkt A gelegte Ebene bei der Ruhe von A noch in sich 
verschoben werden kann, und dafs die Gesamtheit der Lagen, 
welche hierbei ein zweiter Punkt В einnimmt, eine geschlossene 
Linie bildet. Daraus folgt, dafs die für den Punkt В voraus 
gesetzte Eigenschaft jedem Punkt der Ebene zukommt. 
Fügen wir jetzt die Annahme bei, dafs der Punkt A über 
haupt noch bewegt werden kann, so verliert auch dieser Punkt 
seine bevorzugte Lage in der Ebene: man kann nämlich die Ebene 
bei der Ruhe irgend eines in ihr gelegenen Punktes in sich be 
wegen, und dabei werden jedesmal alle Punkte geschlossene 
Bahnen beschreiben. Die Gruppe der zugehörigen Transforma 
tionen ist dreigliedrig und hängt nur noch von einer willkürlichen