Abschlufs der projektiven Geometrie. 
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Auch zeigt die Konstruktion, dafs vier Ebenen eines Büschels 
jede beliebige Gerade, die nicht durch die Achse geht, in vier 
harmonischen Punkten schneiden, sobald sie eine einzige Gerade 
in vier harmonischen Punkten treffen. Ebenso ergiebt sich un 
mittelbar, dafs man von irgend einer Gruppe von vier harmo 
nischen Punkten zu jeder zweiten solchen Gruppe durch eine 
endliche Zahl von Projektionen und Schnitten übergehen kann. 
Ist D der zu C in Bezug auf das Punktepaar AB zugeordnete 
harmonische Punkt, so zeigt die Konstruktion, dafs der Punkt D 
von den Punkten A und B verschieden ist; aber man bedarf ein 
neues Postulat, um zu erkennen, dafs die Punkte C und D nicht 
zusammenfallen. Wird dies Postulat für ein einziges Quadrupel 
aufgestellt, so gilt es infolge der angegebenen projektiven Zuord 
nung, die durch Projizieren und Schneiden vermittelt wird, für 
jedes andere Quadrupel. Aber hiermit ist die Zahl der un 
bedingt notwendigen Postulate keineswegs erschöpft, wie Fano 
durch eine interessante Untersuchung zeigt. Wir wollen den 
Beweis hier nicht vollständig wiedergeben, aber wenigstens einiger- 
mafsen charakterisieren. 
Von drei Punkten OA!A 2 einer Geraden ausgehend, sucht 
man eine unbegrenzte Reihe von weiteren Punkten A 3 , A 4 . , . 
A., . . durch die Forderung, dais jedesmal die vier Punkte 
OA/ A*_i A*+i harmonische Punkte sind. Wenn in dieser Reihe 
irgend ein späterer Punkt mit einem früheren zusammenfällt, so 
bleibt die Reihe bei unbegrenzter Fortsetzung endlich; es fällt 
also ein Punkt A n+1 mit Ai zusammen oder die Reihe kehrt nach 
n Elementen in sich zurück. Dann mufs die Zahl n eine Prim 
zahl sein; die Gerade enthält n -ff 1 Punkte, die Ebene n 2 -|-n-El 
Punkte und n -j- 1 Gerade. Diese Gesetze gelten wegen der pro 
jektiven Zuordnung für jede Gerade und jede Ebene. 
Soll also die Gerade unendlich viele Punkte enthalten, so 
müssen wir (Postulat V) voraussetzen, dafs in der oben definierten 
Reihe kein Element mit einem früheren zusammenfällt. Es genügt 
nicht, eine entsprechende Annahme für irgend eine noch so grofse 
endliche Zahl zu machen; da die Zahl der Primzahlen unendlich 
ist, so umfafst das letzte Postulat seinem Wesen nach unendlich 
viele Voraussetzungen in sich. 
Die Festsetzung, dafs O, A*, A*_i, A x+l vier harmonische