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Fünfter Abschnitt. § 3. 
mufs zwei-, drei- und mehrdimensionale Gebilde messen; sie mufs 
die Lage von Gebilden, die nicht zusammenfallen, mit einander 
vergleichen und bedarf zu dem Zweck u. a. des Winkels. Der 
Analysis fehlt jedes Mittel, diese Begriffe zu entwickeln oder in 
innern Zusammenhang mit dem Begriff der Länge zu bringen. 
Dennoch spricht Riemann selbst vom Flächeninhalt eines Drei 
ecks, andere geben z. B, Formeln für die Winkel; es ist klar, 
dafs das nur willkürliche Festsetzungen, nicht aber Folgerungen 
aus den gegebenen Prämissen sein können. 
In der That sind es vorzüglich zwei Methoden, nach denen 
diese Formeln gewonnen werden. Gewöhnlich läfst man sich 
durch blofse Analogie leiten. Ein n-dimensionales Gebilde wird 
in einem (n -f- m)-fach ausgedehnten euklidischen Raume voraus 
gesetzt. Zur Untersuchung dieses Raumes benutzt man n-f m 
Gröfsen y l5 y 2 ... y n +m, welche das Analogon der rechtwinkligen 
Cartesischen Koordinaten bilden. In diesen Koordinaten kann 
man die Ausdrücke für Winkel, Inhalt u. s. w. dadurch erhalten, 
dafs man die bekannten für den dreidimensionalen euklidischen 
Raum geltenden Formeln auf n-J-m Variabele überträgt. Um 
hieraus die entsprechenden Formeln für das n-dimensionale Ge 
bilde zu erhalten, drückt man die Gröfsen yi . . . y n +m durch n 
Variabele x t . . . x n aus, setzt also y t . . . y n+m als Funktionen 
von x t . . . x n voraus. Dann wird man auch die Formeln für 
den Inhalt, für Winkel u. dgl. durch die Gröfsen . . . x n dar 
stellen, wenigstens so lange man sich auf unendlich kleine Ge 
biete beschränkt. Alle diese Ausdrücke treten in auffallend enge 
Beziehung zu der Form, welche das Linienelement für die n 
Variabein x x . . . x n annimmt. Man hält sich deshalb für berechtigt, 
diese analytischen Formeln mit denjenigen geometrischen Be 
griffen, denen sie bei dem gewählten Ausgange entsprechen, ganz 
allgemein zu verbinden. Indessen kann auf diese Weise die 
Grundlage der Geometrie nicht gewonnen werden, da man einer 
seits bereits die Geometrie benutzt, um gewisse Formeln zu er 
halten, andererseits die Ausdrücke durch blofse Analogie, nicht 
aber durch naturgemäfse Entwicklung erlangt werden. (Selbst 
verständlich hat es kein Bedenken, diese Methode zu befolgen, 
wenn es sich um rein analytische Entwicklungen handelt und