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Achter Abschnitt. § 3. 
Gewinnt hierdurch schon der Ausdruck für die Invariante 
besondere Einfachheit, so kommt noch hinzu, dafs auch die äufsere 
Form bei Einführung von neuen Variabein im wesentlichen un- 
geändert bleibt. Wenn man nämlich die Variabein x^ durch be 
liebige von einander unabhängige Funktionen (pp (x t ... x n ) ersetzt, 
so gehen die Differentiale y ? (und ebenso y^ . . .) in homogene 
lineare Funktionen 2 vo dieser Differentiale über, 
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Ein besonders wichtiger Vorteil, den die Benutzung von 
unendlich nahen Wertsystemen gewährt, besteht aber darin, dafs 
die Gesamtheit der Transformationen, welche einen Differential- 
ausdruck unverändert lassen, jedesmal eine Gruppe bildet. Diese 
Eigenschaft folgt unmittelbar aus einem allgemeinen Satze, den 
Lie für Differential-Gleichungen bewiesen hat. Da sie aber für 
die folgenden Untersuchungen sehr wichtig ist, dürfte es passend 
sein, sie für den einfachsten Fall, dafs die Invariante nur die 
Gröfsen x x . . . x n und die Differentiale y t = dx t . . , y n = dx„ 
enthält, zu verifizieren. 
Sind dx s o =gpdt ud dxp — y^dt zwei infinitesimale Trans 
formationen, welche der Invariante J (x t ... x n ; yi . . . y n ) ge 
nügen, so mufs sein: 
(5) + *£«■&= 0. 
Indem ich die beiden Gleichungen nach x* differentiiere, die 
erste auf diese Weise erhaltene Beziehung mit rjx, die zweite mit 
g* multipliziere, beide nach x summiere und von einander sub 
trahiere, folgt die Relation: 
Ebenso differentiiere ich die Gleichungen (5) nach y x und 
finde in ähnlicher Weise: