Anwendung der Transformations-Gruppen. 
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Mit diesen Ergebnissen operieren wir in der vorhin ange 
gebenen Weise und gelangen zu dem Resultate; 
Att = Cjß ^1^2 2 “l - ^2“ ( ^2 ^1^3 ~t~ -f- CgßTgNjN^- 
Demnach wird jetzt die Invariante: 
J = N 1 Tl N 2 T3 .e T2 ^ 3 . 
J 1 2 N 2 
8. Die vorangehende Entwicklung stützt sich auf die An 
nahme, dafs die Differenz b 23 b 3l b 12 — b 32 b 21 b 13 von null ver 
schieden ist. Nun ist es zwar nicht schwierig, den ausgeschlossenen 
Satz in ähnlicher Weise zu erledigen. Indessen dürfte eine Me 
thode den Vorzug verdienen, welche uns nicht zwingt, verschie 
dene Fälle zu unterscheiden. Wir wollen daher die gewonnenen 
Resultate auf einem zweiten Wege herleiten. Aus den Gleichungen 
(23) und (24) folgt für beliebige Gröfsen c 1? c 2 , c 3 ganz all 
gemein: 
(28) Cp apcrba« = 2! Cp bpoaoa. 
p,(7 
Jetzt bestimme man die Gröfsen c T , c 2 , c 3 so, dafs die drei 
Gleichungen bestehen: 
2 Cp bp« = coc« (a = 1,2, 3). 
(> 
Dadurch sind wir wieder auf die Gleichung (26) geführt, 
und die Gröfsen c ergeben sich unter Beibehaltung der früheren 
Bezeichnung wieder aus dem Verhältnis: 
c t : c 2 : c 3 = co 2 + b i± a> + ß lt : ob 12 + ß 21 : o>b 18 -j- ß 31 . 
In dem Falle, dafs die Gleichung (26) drei verschiedene 
Wurzeln hat, gehört zu jeder ein System von Koefficienten c. 
Für jedes derartige System geht die Gleichung (28) über in 
Cp apabfj« = co 2 Co aoa, oder 
q,o o 
2 Ca aoa (bä« — co) 2 Ca aa^b^« -{- Co aa^by« = 0. 
o o o 
Die Bestimmung der Gröfsen 2caZoi, 2caZa2, 2,cgz.o% 
führt also wieder auf die Gleichung (26), und die letzten Gröfsen 
haben dasselbe Verhältnis wie die Gröfsen c 15 c 3 , c 3 . Dem 
nach ist: 
2 Co ao i == co Cj, JS 1 Ca a o 2 == co c2, Ca aa 3 === co C3.