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Achter Abschnitt. § 8. 
der Linie liegt, zusammenfallen; er mufs auch während der ganzen 
Bewegung auf derjenigen, vom ruhenden Punkte ausgehenden 
Halbgeraden verbleiben, der er in der Anfangslage angehört. Dies 
Beispiel läfst also die Liesche Deutung nicht zu. 
7. Nun zeigt Lie, dafs bei der strengen Deutung die ersten 
drei Helmholtzschen Axiome für sich ohne das Monodromie- 
Axiom ausreichen, aber bei anderer Deutung seine Hypothesen 
noch Möglichkeiten zulassen, welche ausgeschlossen werden sollen. 
Da wir wegen des einen von Helmholtz beigefügten Beispiels 
seine Worte nicht in der ersten Weise deuten können, so müssen 
wir leider anerkennen, dafs seine Axiome nicht genügen, um die 
eigentlichen Raumformen den uneigentlichen gegenüber zu cha 
rakterisieren. Der Begründung wegen erinnern wir an die in 
§ 7, 14 (S. 326) behandelte Raumform. Auch hier bleibt bei 
der Ruhe eines Punktes jeder Punkt einer Linie in Ruhe, aber 
jeder andere Punkt kann noch in einer Fläche derartig bewegt 
werden, dafs die Gesamtheit der Bewegungen von drei Parametern 
abhängt. Wird noch ein zweiter Punkt und damit eine zweite 
Linie in Ruhe gehalten, so bewegen sich alle anderen Punkte in 
geschlossenen Linien und kehren gleichzeitig in ihre Anfangslage 
zurück. Diese Möglichkeit wurde von Helmholtz deshalb über 
sehen, weil die Differential-Gleichungen der Bewegung eine wesent 
liche Veränderung erleiden, wenn man sich in ihrem Ausdruck 
auf die Glieder der ersten Dimension beschränkt. 
8. So sehen wir denn, dafs die Axiome, von denen Helm 
holtz ausgeht, nicht ausreichen, und dafs sein Beweis eine Lücke 
enthält. Dennoch hüte man sich, die Bedeutung seiner Arbeit 
zu unterschätzen. Seine Axiome stellen trotz ihrer Mangelhaftig 
keit das Urbild dar, nach welchem alle späteren Versuche, die 
eigentlichen Raumformen den allgemeinen gegenüber zu charak 
terisieren, ohne Ausnahme gebildet sind. Auch die Lücken im 
Beweise lassen sich auf dem von Helmholtz selbst eingeschlagenen 
Wege beseitigen; indessen ist es nicht nötig, darauf einzugehen, 
da mittlerweile die Theorie der Transformations-Gruppen uns 
einfachere Methoden darbietet.