40 
Fünfter Abschnitt. § 7. 
man hat also zu setzen: 
< log 2 < 
« -f- 1 
Auf die eigentliche Theorie der Irrationalzahlen können wir 
hier nicht eingehen; wir begnügen uns mit zwei kurzen Be 
merkungen. An erster Stelle weisen wir darauf hin, dafs es nicht 
notwendig ist, für den Nenner v alle ganzen Zahlen zu nehmen, 
dafs es vielmehr genügt, diejenigen auszuwählen, welche Potenzen 
einer bestimmten Zahl (etwa von 10) sind. Zweitens müssen 
wir doch den Beweis dafür andeuten, dafs man mit den Irrational 
zahlen rechnen kann. Dieser beruht darauf, dafs, wofern für eine 
Reihe von Zahlen nur gewisse Intervalle gegeben sind, man auch 
für eine neue, durch die Grundrechnungeu aus ihnen gewonnene 
Zahl ein Intervall angeben kann, und dafs das letzte Intervall 
immer mehr eingeschränkt werden kann, sobald man die Inter 
valle für die ersten Zahlen hinlänglich klein werden läfst. Ist z. B. 
- < A < ^ < B < , 
v V fl fl 
so hat man für die Summe A + B das Intervall ^ v - um dies 
1 flV 
Intervall für einen beliebigen Wert von q kleiner als ^ zu machen, 
hat man nur ¡i und v passend zu wählen. 
4. Wir haben oben vorausgesetzt, dafs man jede Strecke in 
v gleiche Teile zerlegen kann. Umgekehrt erkennt man aber 
unmittelbar, dafs eine derartige Teilung nur auf eine einzige Weise 
möglich ist. Demnach ist auch die Länge einer Strecke voll 
ständig bestimmt, wenn ihre Mafszahl für eine gegebene Längen 
einheit bekannt und diese Zahl rational ist. Es fragt sich aber, 
ob bei gegebener Einheitsstrecke auch eine irrationale Mafszahl 
die Länge einer Strecke bestimmt. Es sei also eine Strecke a 
gegeben und eine Zahl durch die obige Einschliefsung für jeden 
Wert von v definiert. Wir wählen einen Punkt O und tragen 
in einer festgewählten Richtung die Strecken OAv = - und 
° o V 
«4-1 
OAv' = ——— a ab. Wie grofs auch immer die Zahl v gewählt 
ist, bleibt stets eine Strecke Av Av', auf der der gesuchte Punkt