Abschlufs der projektiven Geometrie.
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Nachdem solche in beliebiger Anzahl gewählt sind und für eine
weitere Linie ein zweiter Punkt bestimmt ist, bleibt für diese
Linie noch immer ein gewisses Winkelfeld. Denkt man sich alle
vom Punkte 1 ausgehenden Linien bestimmt, so sind die von
einem zweiten Punkte 2 ausgehenden Linien bis auf die Linie
(21) willkürlich und haben nur den beiden Bedingungen zu ge
nügen, dafs sie unter einander keinen zweiten Punkt gemein
schaftlich haben und dafs keine den von 1 ausgehenden Linien
zweimal begegnet. Diese Willkür ändert sich bei Hinzunahme
eines (n I)ten Punktes nicht, nachdem für irgend eine endliche
Zahl n von Punkten Gesetze angegeben sind, nach denen sich
sämtliche, durch je einen dieser Punkte hindurchgehende Linien
des Systems bestimmen lassen. Die oben angegebenen For
derungen sind also von einander unabhängig und lassen sich nicht
auf eine geringere Zahl von Voraussetzungen zurückführen.
5. Man denke aber nicht, dafs die beiden obigen Voraus
setzungen nur für die Geraden und Ebenen des Raumes gelten.
Schon Klein hat darauf hingewiesen, dafs durch irgend eine stetige
Umgestaltung des Raumes die Geraden und Ebenen in Gebilde
übergehen, für welche die angegebenen Eigenschaften wenigstens
so lange bestehen bleiben, als man einen gewissen Bereich nicht
verläfst. Wir möchten an einem einfachen Beispiele zeigen, dafs
die vorausgesetzten Eigenschaften gewissen Systemen ganz all
gemein zukommen.
Zu dem Ende betrachten wir wieder den Hyperbel-Sinus,
den wir bereits im ersten Abschnitt benutzt haben. Indem wir
setzen:
(1) Shu =
= u +
u 3
3!
+
u 5
5!
+ • • •
sehen wir, dafs zu jedem reellen Werte von u ein einziger reeller
Wert von Shu gehört, und umgekehrt.
Jetzt sollen x, y, z Cartesische (recht- oder schiefwinklige)
Koordinaten des euklidischen Raumes und a, ß, y drei von null
verschiedene endliche konstante Gröfsen sein. Indem wir setzen;
(2) g = «Sh 7] = ßShZ, £ = 7Shy
entspricht jedem Punkte ein einziges System von Werten (g, g).
Durch die Gleichung;
