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§ 1. Teilung von Ebenenwinkeln. 
führt man in entsprechender Weise die Halbebenen II' und III' 
ein, so ist (III') = (III) ± jt, (IIIII ) = (IIIII) + ji u. s. w. 
3. Jedesmal, wenn durch die gemeinschaftliche Kante zweier 
Halbebenen I und II eine dritte Halbebene III gelegt wird, sagen 
wir, der Keil (III) werde in die zwei Keile (IUI) und (IIIII) 
zerlegt, und bezeichnen den Bruch sin (IIII) : sin (IIIII) als das 
Schnittverhältnis der Teilung. Ersetzen wir die Halbebene 
III durch die entgegengesetzte Halbebene III', so bleibt, weil 
sin (IIII) = — sin (IIII), sin (III II) = — sin (IIIII) ist, das 
Schnittverhältnis ungeändert. Das Schnittverhältnis ändert sich 
also nicht, wenn man die teilende Halbebene durch die entgegen 
gesetzte Halbebene ersetzt. Wenn die teilende Halbebene ent 
weder im Innern des Keiles selbst oder seines Scheitelkeiles liegt, 
so ist das Schnittverhältnis positiv; dagegen hat es einen nega 
tiven Wert, wenn die teilende Halbebene durch einen der beiden 
Nebenkeile hindurchgeht. 
Fällt man von irgend einem Punkte der teilenden Ebene III 
die Senkrechten auf die beiden ersten Ebenen I und II, so ist 
das Schnittverhältnis der Teilung dem absoluten Betrage nach 
gleich dem Verhältnisse dieser Senkrechten. Es sei nämlich P 
irgend ein Punkt von III; von P sei auf I die Senkrechte PQi, 
auf II die Senkrechte PQ 2 und auf die Kante die Senkrechte PR 
gefällt. Dann stehen auch die Geraden RQ X und RQ 2 auf der 
Kante senkrecht; folglich ist der Winkel PRQ t gleich dem Nei 
gungswinkel der Ebenen I und III, und PRQ 2 gleich dem der 
Ebenen II und III. Es verhält sich also 
sin (IIII) PQi 
sin (in ii) — ± pq7 
Da bei dieser Konstruktion nicht die Halbebenen selbst, son 
dern nur die Ebenen in Betracht kommen, brauchen die beiden 
Verhältnisse im Vorzeichen nicht übereinzustimmen. 
4. Sind I, II, III, IV vier Halbebenen, welche dieselbe Kante 
besitzen, so bezeichnet man als das Doppelverhältnis (IIIIIIIV) 
dieser vier Halbebenen den Quotienten aus den beiden Schnitt 
verhältnissen: 
(IIIIIIIV) = 
sin (I III) 
sTiQinil) 
sin (IIV) 
sin (IV II)‘