Projektivität und Metrik.
Wir unterscheiden projektive und metrische Eigenschaften
der Raumgebilde. Auf die erste Klasse beziehen sich gröfstenteils
die bisher in diesem Bande durchgeführten Untersuchungen, näm
lich alle diejenigen, bei denen auf die unendlichferne Ebene keine
Rücksicht genommen wurde. Hierbei handelte es sich vielfach
darum, ob ein Gebilde ganz oder zum Teile einem andern an
gehört, ob mehreren Gebilden Punkte oder Tangentialebenen
gemeinschaftlich sind; dabei wurden die Doppelverhältnisse berück
sichtigt, namentlich der wichtige Specialfall derselben, die harmo
nische Teilung. Dagegen kam es hierbei gar nicht auf die Länge
der Strecken und die Gröfse der Winkel an.
Um den Charakter der projektiven Eigenschaften scharf fest
zustellen, nehmen wir am besten die kollineare Zuordnung des
Raumes zu Hilfe. Wir dürfen alsdann sagen, Eigenschaften
seien projektiv, wenn sie sich bei keiner kollinearen
Umgestaltung des Raumes ändern.
Führen wir z. B. eine eigentliche geradlinige Fläche zweiter
Ordnung P durch eine kollineare Umgestaltung des Raumes in
eine andere Fläche <P über, so ist die letztere ebenfalls eine
eigentliche Fläche zweiter Ordnung mit geraden Linien. Bei der
selben Umgestaltung möge der Punkt P des Raumes in P' und
die Polarebene II von P in Bezug auf P in eine Ebene 11' um 1
gewandelt werden; dann ist jedesmal für die Fläche •P' die Ebene
11' die Polarebene des Punktes P'.
Ordnung und Klasse einer Fläche und Kurve, Durchschneiden
und Berühren, die Frage, ob gerade Linien in einer Fläche ent
halten sind oder nicht, gehören deshalb der Projektivität an; aber
auch die ganze Theorie der Doppelverhältnisse mufs ihr zuge
wiesen werden.
Dagegen werden diejenigen Eigenschaften als me
trische bezeichnet, welche nicht bei allen kollinearen
Umgestaltungen ungeändert bleiben. Zuvörderst bevorzugt
die Metrik die unendlichferne Ebene als ein uneigentliches Ge
bilde vor den übrigen Ebenen, während man diese Ebene kollinear
auf jede andere Ebene beziehen kann. Demgemäfs gehört die
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äsfiksr?
