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§ 27. Projektivität und Metrik. 
Lehre vom Mittelpunkt einer Fläche zweiter Ordnung und von 
den konjugierten Durchmessern der Metrik an. Die Messung im 
eigentlichen Sinne ist ein metrischer Prozeis, da die Metrik Rück 
sicht nehmen mufs auf die Länge der Strecken, die Gröfse der 
Winkel, auf Flächen- und räumlichen Inhalt. Nur die kongruente 
Umgestaltung des Raumes läfst alle metrischen Eigenschaften eines 
Gebildes ungeändert. 
Zwischen Projektivität und Metrik besteht hiernach in den 
Resultaten ein durchgreifender Unterschied; aber dieser Unter 
schied tritt bei den grundlegenden Untersuchungen ganz zurück. 
Alle unsere Beweise beruhen in ihrem tiefsten Grunde auf der 
Definition der Koordinaten. Diese wurden eingeführt als Längen 
von Strecken, die noch mit gewissen konstanten Faktoren multi 
pliziert wurden. Bei einem solchen Ausgangspunkte werden 
metrische Eigenschaften zur Grundlage der Projektivität gemacht. 
Zwar sahen wir nachträglich, dafs wir nur die Verhältnisse der 
Koordinaten zu berücksichtigen brauchen und dafs wir diese als 
Doppelverhältnisse auffassen dürfen; aber bei der Definition der 
Doppelverhältnisse benutzten wir wieder die Längen von Strecken 
und die Gröfsen der Winkel. So bildet für uns die Metrik zu 
gleich die wahre Grundlage der Projektivität. Es liegt also die 
Frage nahe, ob es nicht möglich ist, auch in der Begründung die 
Metrik zu entbehren und die Projektivität selbständig aufzubauen. 
Das ist in der That den Bemühungen der Geometer gelungen; 
aber die Art der Ausführung darzulegen, geht über die Grenzen 
hinaus, welche wir uns für das vorliegende Werk stecken mufsten. 
Nur das Ergebnis wollen wir dahin formulieren, dafs wir sagen, 
die Projektivität sei die Gesamtheit der geometrischen Sätze, die 
sich einzig aus den Voraussetzungen ergeben, dafs durch je zwei 
Punkte eine gerade Linie und durch jede Gerade und einen ihr 
nicht angehörenden Punkt eine Ebene gelegt werden kann. 
Die soeben durchgeführten Erwägungen sind geeignet, ein 
Bedenken zu beseitigen, das sich bei der Einführung der Tetraeder- 
Koordinaten aufdrängen mufs. Aus den Elementen der analy 
tischen Geometrie ist bekannt, dafs drei Strecken genügen, um 
die Lage eines jeden Punktes im Raume zu bestimmen; es mufs 
daher dem Anfänger als eine unnötige Erschwerung erscheinen, 
dafs er gezwungen wird, vier verschiedene Strecken zu benutzen.