§ 27. Projektivität und Metrik. 
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eingeschlossenen Tetraeders sind. In welcher Beziehung müssen 
die konstanten Verhältnisse zu einander stehen? 
(Wenn die Koordinaten Xi ... x 4 mit den in § 2 eingeführten 
Gröfsen pi . . . p 4 identisch werden, so haben die zugehörigen 
Ebenenkoordinaten . . . u 4 die Bedeutung rj : h t . . . r 4 : h 4 , 
wo r! . . . r 4 die in § 4 benutzten senkrechten Abstände sind.) 
2) a) Im Tetraeder 0x0^0^04 seien I, II, III, IV die Seiten 
flächen, hx . . . h 4 die Höhen, a 12 , a 13 ... die Cosinus der von 
je zwei Ebenen eingeschlossenen Winkel (a 12 — cos (III) u. s. w.). 
Die von einem beliebigen Punkte der Höhe h 4 auf die Ebenen 
I, II, III gefällten Senkrechten verhalten sich wie a 14 : « 24 : « 34 
u. s. w. Indem man als Koordinaten eines Punktes die von ihm 
auf die Ebenen gefällten Senkrechten wählt, soll die Gleichung 
derjenigen Fläche zweiter Ordnung bestimmt werden, welche 
durch drei Höhen des Tetraeders geht. Man zeige, dafs die Fläche 
auch die vierte Höhe enthält. 
(Indem wir den Ausdruck a e xa XjU — «¿¿t«*;. kurz durch {ixX/j.} 
bezeichnen, können wir die Gleichung in der Form schreiben: 
(1234) («34X1 x 2 -f- «12X3X4) -p (1342) («42X1X3 -p «13X4X2) 
+ (1423) («23X1X4 + «14X3X3) = 0.) 
b) Man suche die geometrische Bedeutung der Ausdrücke 
(i.xX/i); man weise nach, dafs (1234) nur gleich null werden kann, 
wenn die Kanten 0i0 2 und 0 3 0 4 auf einander senkrecht stehen. 
c) Die Bedingung dafür, dafs die Höhen h x und h 2 einen 
Punkt gemein haben, ist identisch damit, dafs auch die beiden 
andern Höhen einander schneiden. Man deute die Bedingungs 
gleichung geometrisch und leite daraus einen Satz der Stereo 
metrie ab. 
d) Sobald zwei Paare von Gegenkanten rechtwinklig zu ein 
ander geneigt sind, gilt dasselbe für die Kanten des dritten Paares. 
In diesem Falle gehen die vier Höhen durch einen Punkt. 
4) a) Indem man wieder unter X! . . . x 4 die senkrechten 
Abstände von den Ebenen des Tetraeders O1O2O3O4 versteht 
und mit «,* den Cosinus des Neigungswinkels je zweier seiner 
Ebenen bezeichnet, zugleich aber den senkrechten Abstand des 
Punktes (x) von der Kante O3O4 gleich 1 34 u. s, w. setzt, folgt 
die Beziehung: 
( l — «i 2 2 ) 1 s 2 4 = x ! + X 1 + 2«i2X,X 2 .