§ 28. Kugel und Kugelkreis. 
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b) Wie hat man die Koordinaten zu wählen, damit die Glei 
chung einer gegebenen Hyperbel die Form annimmt: 
u 2 -f v 2 = a 2 ? 
c) Man leite aus den angegebenen Gleichungen weitere Eigen 
schaften der Kegelschnitte her. 
7) a) Wie müssen die Schweringschen Ebenenkoordinaten 
(II § 8, 3 S. 54) gewählt werden, damit die Gleichung einer 
Fläche zweiter Klasse die Form erhält: 
au 2 -F $v 2 -\- /w 2 = 1 ? 
b) Welche Flächen können durch die angegebene Gleichung 
dargestellt werden? Welche Bedeutung haben die Koefficienten 
a, ß, /? Für welche Flächen haben sie sämtlich einen positiven 
Wert? Wie müssen die Koordinatenaxen gewählt werden, damit 
die Koefficienten wenigstens dem absoluten Betrage nach gleich 
werden? 
c) Man wähle eine Durchmesserebene und drei Ebenen, welche 
je in einem Punkte der ersten Ebene berühren, zu Koordinaten 
ebenen. Für dies System stelle man die Gleichung der Fläche 
auf und gebe ihre geometrische Bedeutung an. 
4) a) In einem einschaligen Hyperboloid wähle man zwei 
parallele Erzeugende und eine beliebige Tangentialebene und ziehe 
durch den Berührungspunkt die Parallele zu den gewählten Er 
zeugenden. Auf diesen beiden Geraden schneidet eine beliebige 
Tangentialebene Stücke ab, deren Produkt gleich ist dem mit 
einer festen Konstanten multiplizierten Abschnitte auf der gezogenen 
Parallelen, wo die Abschnitte sämtlich von der festen Tangential 
ebene aus gemessen werden. 
(Die Gleichung UiU 2 — au 3 u 4 geht unter Benutzung Schwe- 
ringscher Koordinaten über in uv = aw.) 
b) Man gehe zu Punktkoordinaten über und erkläre die neue 
Gleichung unter Benutzung von § 8, 2 (S. 53). 
§ 28. 
Kugel und Kugelkreis. 
1. In den folgenden Paragraphen benutzen wir rechtwinklige 
Koordinaten, wollen dieselben aber, um die Beziehung zu den 
allgemeinen Koordinaten deutlicher hervortreten zu lassen, vielfach