§ 28. Kugel und Kugelkreis. 
255 
c) zwei äufsere und vier innere: 
A A T T T T 
^125 -^3 45 J -13> •*•1 4> i 23’ i 24 
A A T T T T 
3’ ^24’ a 195 a i 4j x 32> i 34 
A A T T T T 
14’ XA 23> 1 1 2 ’ a 135 a 4 2J A 4 3' 
5. Die Gleichung einer beliebigen Kugel in rechtwinkligen 
Punktkoordinaten ist 
(8) (xj — ax 4 ) 2 + (x 2 — bx 4 ) 2 + (x 3 — cx 4 ) 2 = r 2 x|, 
wo x 4 = 0 die unendlichferne Ebene darstellt. Der Schnitt mit 
der unendlichfernen Ebene wird also durch die Gleichungen ge 
geben: 
(9) x 4 = 0, xf -f- x 2 -j- x| = 0, 
oder auch, wenn wir lieber wollen, durch den Schnitt der un 
endlichfernen Ebene mit der Fläche x 2 -f y 2 -f z 2 =0. Diese 
Linie ist von dem Mittelpunkte und dem Radius ganz unabhängig, 
also für alle Kugeln dieselbe. Wir dürfen daher sagen: 
Alle Kugeln haben mit der unendlichfernen Ebene 
denselben Kreis, den unendlichfernen imaginären Kugel 
kreis gemeinschaftlich. 
6. Wir schreiben statt 
(x 4 — ax 4 ) 2 + (x 2 — bx 4 ) 2 + (x 3 — cx 4 ) 2 — r 2 x 2 
kurz K und statt 
( x i — a'x 4 ) 2 -f (x 2 — b'x 4 ) 2 -f (x 8 — c'xj 2 - r 2 x| 
kurz K'. Dann stellt die Gleichung K -f- XK — 0 denjenigen 
Flächenbüschel dar, der durch die Kugeln K = 0 und K == 0 
bestimmt wird. Aus der Form der neuen Gleichung ersehen wir 
den Satz: 
Wenn ein Flächenbüschei zweiter Ordnung zwei 
Kugeln enthält, so sind alle seine Flächen Kugeln. 
Dem Büschel gehören ein Ebenenpaar und zwei Kegel an. 
Das Ebenenpaar K — K = 0 enthält stets die unendlichferne Ebene. 
Um die Bedeutung der zweiten Ebene zu erkennen, beachten wir, 
dafs der Ausdruck K für einen eigentlichen Punkt das Quadrat 
der Tangente darstellt, die von dem Punkte an die Kugel gelegt 
werden kann. Für einen Innenpunkt nimmt K einen negativen 
Wert an; es ist dann — K gleich dem Quadrate aus der Hälfte 
der kleinsten Sehne, welche durch den Punkt gelegt werden kann.. 
Allgemein gilt folgendes: Wenn durch den Punkt P eine Sekante 
gezogen wird, welche die Kugel in den Punkten A und B trifft.