Full text: Die Geometrie des Raumes (2. Teil)

§ 28. Kugel und Kugelkreis. 
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17* 
Übungen: 
1) Die Gleichungen der acht Kugeln, welche vier gegebene 
Ebenen (a), (b), (c), (d) berühren, lassen sich in folgender Form 
zusammenfassen: 
Uj u 2 u 3 u 4 1 
a i a 2 a 3 a 4 + 1 
b 4 b 2 b 4 b 4 +1 = 0. 
Ci Cg c 3 c 4 ¿2 1 
h 4 ^2 ¿a d 4 +1 
Man untersuche das System dieser Kugeln. 
2) a) Wenn für eine Fläche zweiter Ordnung jeder Durch 
messer auf der konjugierten Durchmesserebene senkrecht steht, 
so ist sie eine Kugel. 
b) Wenn es für eine Fläche zweiter Ordnung zwei voll 
ständig getrennte Tripel konjugierter Durchmesser giebt, die auf 
einander senkrecht stehen, so ist sie eine Kugel. 
(Es wird angenommen, dafs a, b, c und a', b', c zwei der 
artige Tripel sind und dafs keiner der Durchmesser a, b, c mit 
einem der drei Durchmesser a', b', c' identisch ist. Man zeige, 
dafs unter dieser Annahme der Schnitt mit der unendlichfernen 
Ebene der imaginäre Kreis ist.) 
3) Um eine andere Einführung des unendlichfernen Kreises 
zu begründen, erinnern wir an folgendes. Verstehen wir unter 
x t . . . x 4 die senkrechten Abstände von den Ebenen des Koordi- 
naten-Tetraeders und unter h t ... h 4 die Höhen desselben, so 
gilt für jeden eigentlichen Punkt die Beziehung 
h i 
+ .••+?- 1- 
Durch die Rechnung werden wir aber auch auf Punkte ge 
ll 
h. 
führt, für welche ~ -j- . . . -f- ~ = 0 ist; diese müssen wir als 
h 4 h 4 
uneigentliche Punkte bezeichnen. 
Ebenso besteht zwischen den Koordinaten u 4 . . . u 4 einer 
Ebene, falls man darunter die senkrechten Abstände von den 
Eckpunkten des Tetraeders versteht, nach § 4, 3 (S. 23) die Be 
ziehung : 
u| 
hf 
+ ••• + 
Hl 
hl 
2a 
HlHl 
12 h h 
1 11 2 
2a 
34 h 0 h. 
= 1,
	        
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