§ 28. Kugel und Kugelkreis.
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Übungen:
1) Die Gleichungen der acht Kugeln, welche vier gegebene
Ebenen (a), (b), (c), (d) berühren, lassen sich in folgender Form
zusammenfassen:
Uj u 2 u 3 u 4 1
a i a 2 a 3 a 4 + 1
b 4 b 2 b 4 b 4 +1 = 0.
Ci Cg c 3 c 4 ¿2 1
h 4 ^2 ¿a d 4 +1
Man untersuche das System dieser Kugeln.
2) a) Wenn für eine Fläche zweiter Ordnung jeder Durch
messer auf der konjugierten Durchmesserebene senkrecht steht,
so ist sie eine Kugel.
b) Wenn es für eine Fläche zweiter Ordnung zwei voll
ständig getrennte Tripel konjugierter Durchmesser giebt, die auf
einander senkrecht stehen, so ist sie eine Kugel.
(Es wird angenommen, dafs a, b, c und a', b', c zwei der
artige Tripel sind und dafs keiner der Durchmesser a, b, c mit
einem der drei Durchmesser a', b', c' identisch ist. Man zeige,
dafs unter dieser Annahme der Schnitt mit der unendlichfernen
Ebene der imaginäre Kreis ist.)
3) Um eine andere Einführung des unendlichfernen Kreises
zu begründen, erinnern wir an folgendes. Verstehen wir unter
x t . . . x 4 die senkrechten Abstände von den Ebenen des Koordi-
naten-Tetraeders und unter h t ... h 4 die Höhen desselben, so
gilt für jeden eigentlichen Punkt die Beziehung
h i
+ .••+?- 1-
Durch die Rechnung werden wir aber auch auf Punkte ge
ll
h.
führt, für welche ~ -j- . . . -f- ~ = 0 ist; diese müssen wir als
h 4 h 4
uneigentliche Punkte bezeichnen.
Ebenso besteht zwischen den Koordinaten u 4 . . . u 4 einer
Ebene, falls man darunter die senkrechten Abstände von den
Eckpunkten des Tetraeders versteht, nach § 4, 3 (S. 23) die Be
ziehung :
u|
hf
+ ••• +
Hl
hl
2a
HlHl
12 h h
1 11 2
2a
34 h 0 h.
= 1,