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§ 28. Kugel und Kugelkreis.
wo die Koefficienten a LX die Cosinus der Winkel zwischen je
zwei Ebenen darstellen. Für uneigentliche Ebenen kann die linke
Seite dieser Gleichung verschwinden; sie stellt alsdann eine Fläche
zweiter Klasse dar. Die Determinante dieser Gleichung wird null,
während die drei Unterdeterminanten positiv sind, welche man
erhält, indem man erst überall die Marke 4, dann die Marken 3,
4 und endlich die Marken 2, 3, 4 wegläfst. Somit stellt das
Verschwinden jener Form nach Üb. 9) 1) zu § 18 (S. 140) einen
imaginären eigentlichen Kegelschnitt dar. Die Gleichung dieses
Kegelschnittes kann auf die Form gebracht werden:
vf + V 1 + V I = 0;
seine singuläre Ebene ist die unendlichferne Ebene.
4) Indem man in der Übung 12) zu § 24 annimmt, dafs die
eine Fläche eine Kugel sei, erhält man beachtenswerte Resultate.
a) Wenn beide Flächen Kugeln sind und der Koefficient von
09 2 in der genannten Gleichung verschwindet, gelangt man zu
dem Satze:
Wenn von zwei Kugeln die eine die sämtlichen Kanten eines
Polartetraeders der andern Kugel berührt, so ist die Summe der
Quadrate ihrer Radien gleich zwei Drittel des Quadrates ihrer
Centraldistanz.
b) Wenn umgekehrt die Radien zweier Kugeln in der unter
a) angegebenen Beziehung zum Abstande der Mittelpunkte stehen,
so sollen für jede der beiden Kugeln diejenigen Polartetraeder
gefunden werden, deren Kanten von der andern berührt werden.
c) In rechtwinkligen Koordinaten setze man die Gleichung
der einen Fläche in der Form voraus:
7
y 2 v 2 7 2
- + - + -
« ß ^7
1
dann folgt der Satz;
Der Mittelpunkt einer Fläche zweiter Ordnung hat für jede
Kugel, welche einem ihrer Poiartetraeder umgeschrieben ist, die
Potenz a ß -J- /. Sobald er auf einer einzigen solchen Kugel
liegt, gehen alle einem Polartetraeder umgeschriebenen Kugeln
durch ihn hindurch. Fiegt der Mittelpunkt der Fläche aufserhalb
einer einzigen derartigen Kugel, so haben die von ihm an die
sämtlichen einem Polartetraeder umgeschriebenen Kugeln gezogenen
Tangenten dieselbe Fänge.
