§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung.
265
Ebenso wird eine beliebige Kugel von der unendlichfernen
Ebene in der Kurve geschnitten:
x 2 _)_ y2 _[_ z 2 o.
Nach B) kommt es darauf hinaus, diese beiden Kurven durch
dieselben drei Quadrate darzustellen. Wir wissen aber, dals eine
Kurve zweiter Ordnung durch blofse Quadrate dargestellt wird,
wenn ein Polardreieck der Koordinatenbestimmung zu Grunde
gelegt wird. Die Axen desjenigen Koordinatensystems, welches
unserer Forderung genügt, müssen also die unendlichferne Ebene
in den drei Eckpunkten eines den beiden Kurven gemeinsamen
Polardreiecks schneiden. Hiernach darf das aufgestellte Problem
durch das folgende ersetzt werden:
C) Man soll für die unendlichferne Kurve der ge
gebenen Fläche und den imaginären Kugelkreis ein ge
meinsames Polardreieck bestimmen.
5. Wenn die gegebene Fläche Mittelpunktsfläche ist und ihre
Gleichung die Produkte xy, xz, yz nicht enthält, so sind die Axen
des Koordinatensystems einem Tripel konjugierter Durchmesser
parallel. Für eine Kugel bilden irgend drei auf einander senk
recht stehende Durchmesser ein Tripel konjugierter Durchmesser.
Demnach kommt das aufgestellte Problem für Mittelpunktsflächen
auf das folgende hinaus:
D) Man suche drei konjugierte Durchmesser der gegebenen
Fläche, welche je zu drei konjugierten Durchmessern einer Kugel
parallel sind.
Da dies Problem nicht allgemein genug ist, werden wir im
folgenden auf dasselbe nicht näher eingehen.
6, Wenn in der Gleichung der Fläche eine Variabele nur im
Quadrate vorkommt, aber in der ersten Potenz weder für sich
allein noch im Produkte mit andern Variabein auftritt, so liegt
die Fläche gegen die entsprechende Ebene symmetrisch. So sei
in der Gleichung (1) E = F = G = 0; dann erhalten wir für
beliebige Werte von y und z zwei entgegengesetzt gleiche Werte
für x; jede auf der Ebene x = 0 errichtete Senkrechte schneidet
daher die Fläche in zwei Punkten, welche von dieser Ebene
gleich weit abstehen. Hiernach liegt es nahe, das Problem auf
zustellen :
