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§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
E) Man suche eine Ebene, gegen welche die gegebene 
Fläche symmetrisch liegt. 
Im allgemeinen giebt es, wie wir sehen werden, drei Ebenen, 
welche der aufgestellten Forderung genügen und auf einander 
senkrecht stehen. Dann bedarf es keiner weiteren Operation, um 
die Normalform zu erhalten. Aus diesem Grunde werden wir 
im folgenden auch auf dieses Problem eingehen, obwohl es nicht 
direkt auf alle Flächen anwendbar ist. 
Erste Lösung des Problems C): 
7, Wir halten es aus mehreren Gründen für angebracht, die 
Lösung des Problems C) denen der beiden ersten Probleme voran 
zuschicken. Wir nehmen also an, in der unendlichfernen Ebene 
seien die beiden Kurven gegeben: 
(4) ail xf-f a 22 x| -Ea 33 x|-f 2a 12 x lX2 
+ 2a x 3 x lX3 -f- 2a 2 3 x 2 x 3 = 0, 
(5) xf + x| 4- x| 
0. 
Ein Punkt (Ai, X 2 , X 3 ) dieser Ebene hat in Bezug auf die 
erste Kurve die Polare: 
x i ( a ii L -f- a t 2 X 2 4" a i 3) 4~ x 2 ( a 21 4- 4~ a 234) 
> 4“ x 3 ( a 3i^i 4- a 3 2^2 4- a 3 8^s) = 0, 
während seine Polare in Bezug auf die zweite Kurve die Glei 
chung hat: 
^■i x i 4“ 4 X 2 4~ ¿3 x s = 0. 
Damit diese beiden Gleichungen dieselbe gerade Linie dar 
stellen, dürfen sie sich nur durch einen gewissen Faktor co unter 
scheiden; es müssen daher die Gleichungen bestehen: 
a, 1X1 4- a. 0 A 0 4- a, = 00X. 
oder 
‘■12^2 4“ a i 3^3 
l 2 2^2 4“ a 23^3 
L 3 2^2 4 a 3 3^3 
coX c 
coX, 
(a 11 — a>) X l 4" a i 2^2 4- a i 3^3 = ^ 
a ±X-y 4~ ( a 2 2 — ö?) X 9 4- a2 3^3 === 0 
a Q 
L 4~ a 3 2^2 4~ ( a 
3 3 
<°) A 3 
0. 
Demnach ist co eine Wurzel der Gleichung. 
a,, — co a. o a i 
(7) 
• 11 “12 “13 
a 21 a 2 2 ^ a 2 3 
^ O 1 O 02 
0.