§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 267
Umgekehrt gehört zu jeder Wurzel dieser Gleichung ein
System von Gröfsen X u X 2 , X 3 . Unsere Aufgabe mufs daher sein,
die Gleichung (7) näher zu untersuchen.
8. Zunächst weisen wir nach, dafs die Gleichung (7) nur
reelle Wurzeln hat; wir wollen dabei eine Methode anwenden,
welche Weierstrafs für ein allgemeineres Problem angegeben hat.
Nachdem eine Wurzel der Gleichung (7) gefunden ist, können
wir leicht ein System von Gröfsen X x , X 2 , X 3 bestimmen, welches
den Gleichungen (6) genügt. Wenn eine Wurzel komplex ist:
(o — k -)- li, so lassen wir es zweifelhaft, ob die zugehörigen
Werte von X x , X 2 , X 3 reell oder imaginär sind; wir setzen demnach
Si d - ^2 ^2 d - V 2 1 ’ ^3 =s= £ 3 d" Vah
und machen nur die Voraussetzung, dafs die Gröfsen § 1} g 2 , | 3 ,
V*-> ?]3 reell sind und dafs mindestens eine unter ihnen von
null verschieden ist.
Hiernach nimmt die erste Gleichung (6) die Gestalt an:
a 11 di d -? ui)d -a i2 (»2 d - V2' 1 ) d“ a i 3 (¿'s Vs 1 )
~ (k d~ H) (li + Vi' 1 )-
Die beiden andern Gleichungen (6) werden eine ähnliche
Form erhalten. In diesen Gleichungen müssen die reellen und
die imaginären Bestandteile auf beiden Seiten je einander gleich
sein. Daher müssen die Gleichungen befriedigt werden:
a l
dl
+
a l
2S2
+
a i
3S3
= k Si
—
ki
a 2
dl
+
^ 2
2S2
+
a 2
3^3
= Id 2
—
k 2
a 8
dl
+
a s
2S2
+
a 3
£
3 = 3
= k §s
—
ks
a i
iVi
+
a i
2V2
+
a i
sVz
= k Vi
+
di
a 2
1V1
+
a 2
2V2
+
a 2
3V3
= kr h
+
d 2
a 3
iVi
+
a 3
2 r l 2
+
a 3
3V3
= k ^3
+
d 3
Indem wir die drei ersten Gleichungen der Reihe nach mit
r\i, r/ 2 , ?j 3 multiplizieren, erhalten wir durch Addition die Be
ziehung:
^ a i*V l & = k (g^i d-|a^2 d-ls^/s) — 1 {Vl + V% + Vs)-
In ähnlicherWeise leiten wir aus den drei letzten Gleichungen
die Relation her;
— k dUh + §2v-2 + &?;») + 1 d? 4- £3 + £!)•
Nun ist 2 alx /y* — 22ux ?ji g*; daher folgt durch Subtraktion
der beiden letzten Gleichungen:
1 d! + sl + £i + v\ + v\ + vl) = 0.
