§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
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^ 1 ]A 1 ~F ^12^2 H - ^ 1 3 3 :==: ^2^1 
^ 2 1 i^ J _ ( _a 22i M 2 ~F ^ 2 3 i M 3 = 2^2 
^31^1 ~F ^3 22 “P ‘'■33^3 ==: 2 3 • 
Wie in 8. multiplizieren wir die drei ersten Gleichungen 
mit fi 1 , g 2 , und die drei letzten mit l x , l 2 , l 3 und leiten 
daraus die Relation her: 
ly = 00 x {l 1 /i 1 l 2 fJ 2 -f- A 3 |M 3 ) 
aly ll f.Ly = CO 2 ^ l 2 fl 2 —J— A3 (Mg). 
Da in diesen Gleichungen die linken Seiten einander gleich 
sind, die rechten Seiten sich aber um den ungleichen Faktor co 1 , 
co 2 unterscheiden, so mufs sein: 
(9) lif^i -p ^2^2 ~P '^■3^3 == 0 
und ferner: 
(10) Züuhfiy =0. 
Die Punkte (A 1} l 2 , l 3 ) und (/u x , (i 2 , ¡¿ 3 ) sind also konju 
gierte Pole in Bezug auf die beiden unendlichfernen Kegelschnitte. 
Wenn also die Gleichung (7) drei verschiedene Wurzeln hat, so 
sind die drei Punkte, welche je dieselbe Polare für die beiden 
Kegelschnitte haben, die Eckpunkte eines gemeinsamen Polar 
dreiecks. 
11. Aus der Gleichung (9) können wir mit Cauchy einen 
zweiten Beweis dafür herleiten, dafs die Gleichung (7) keine ima 
ginäre Wurzel besitzt. Es sei nämlich co = k -f- li eine Wurzel 
der Gleichung (7), und es seien l x = § t l 2 = g 2 
A 3 = ¿j 3 -p rj 3 \ drei Gröfsen, welche im Verein mit co — k + H 
die Gleichungen (6) befriedigen. Nun mufs die Gleichung (7) 
aufser k -f- li noch eine Wurzel k — li haben, und die Gleichungen 
(6) werden befriedigt, wenn man überall ~p i durch — i ersetzt. 
Zu der Wurzel k — li gehören also die Werte: 
1 ^ 1 V1 h 2 === S 2 V 2 h 3 == £ 3 Vs' 1 ' 
Nun ist l 1 /i 1 =£1+7)1 u. s. w.; die Gleichung (9) geht 
also über in die folgende: 
I? + v?+£?+*?+11+?J—o, 
und diese kann nicht befriedigt werden, weil die sechs reellen 
Gröfsen . . . 1J3 nicht sämtlich gleich null sein können. 
12. Wir gehen jetzt zu dem Falle über, dafs die Gleichung 
(7) gleiche Wurzeln hat.