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§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
Die Algebra lehrt, dafs für eine Doppelwurzel der Gleichung 
A (co) = 0 auch die Ableitung verschwindet, dafs also mit A(co) — 0 
auch = 0 sein mufs. In unserm Falle mufs also eine 
dco 
Doppelwurzel auch der Gleichung genügen: 
+ ^22 + ^33 — 
Nun gelten aber für eine Doppelwurzel auch die Gleichungen 
(8), falls nicht alle Unterdeterminanten verschwinden; daher ist 
speciell; 
/ f ffA j ^, X 2 fiA 2 2 ■> X | f/A 3 3 , 
es mufs somit sein: 
*? + ^2 4* ^3 — (^11 + ^22 + ^33) = 0. 
Da dies nicht angeht, so müssen für eine Doppelwurzel alle 
Unterdeterminanten verschwinden. Hiernach besteht der Satz: 
Wenn die Gleichung (7) zwei gleiche Wurzeln hat, 
so müssen für diese auch alle Unterdeterminanten ver 
schwinden, die man aus der auf der linken Seite stehen 
den Determinante durch Weglassung einer Zeile und 
einer Kolonne erhält. 
13. Um die Beziehungen kennen zu lernen, welche zwischen 
den Koefficienten a iX bestehen müssen, wofern die Gleichung (7) 
gleiche Wurzeln hat, bilden wir die drei Unterdeterminanten A 12 , 
A13 und z/23. Da diese für eine Doppelwurzel verschwinden 
müssen, erhalten wir die Gleichungen: 
(11) (äj j tu) a 23 = a 12 a i3j (^22 03 ) a 31 a 2i a 2 3> 
( a 33 ®) a i2 = a 3i a 32' 
Wenn hier a 23 , a 31 und a 12 von null verschieden sind, 
können wir die Gleichungen in folgender Form schreiben: 
(12) co = a lx — 
a< 
l 3 1 
l 9 1 ft 2 8 
a. 
= a 
3 3 
Hierdurch sind uns die Bedingungen für die Existenz einer 
Doppelwurzel und der Wert derselben gegeben. Sobald diese 
Gleichungen befriedigt werden, verschwinden auch die Unter 
determinanten An, z/33. 
Wenn einer der drei Koefficienten a 2 3, a 81 , a^ null ist, mufs, 
wie die Gleichungen (11) zeigen, mindestens noch ein zweiter 
von ihnen verschwinden. Angenommen, es wäre a 13 =a 23 =0,