5 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung.
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a 12 =j= 0. Dann folgt aus (11), dafs co = a 33 ist. Die Gleichung
A 33 =0 fügt die Bedingung hinzu:
Wenn endlich a 12 =a 13 =a 23 =0 ist, so lautet die Be
dingung für die Existenz einer Doppelwurzel:
-( a il a 2 2 1 ( a 2 2 a 3 3 1 ( a 3 3 a il) ^
14. Da für eine Doppelwurzel alle Unterdeterminanten von
A verschwinden, so kommen in diesem Falle die drei Gleichungen
(6) auf eine einzige hinaus. Somit hat jeder Punkt einer gewissen
geraden Linie für beide Kegelschnitte dieselbe Polare. Das gilt
speciell für die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem imaginären
Kugelkreise; die unendlichfernen Linien der beiden Flächen be
rühren einander in zwei Punkten. Wenn umgekehrt diese beiden
Kurven einander doppelt berühren, so werden alle Punkte der
Verbindungslinie der Berührungspunkte durch diese Punkte ein
ander harmonisch zugeordnet; zugleich ist der Schnittpunkt der
gemeinsamen Tangenten Pol der Geraden für beide Kurven.
Demnach haben die Kurven in diesem Falle unendlichviele Polar
dreiecke gemeinsam; alle diese Dreiecke haben einen Eckpunkt
gemeinschaftlich und die gegenüberliegende Seite gehört einer
bestimmten geraden Linie an. Die beiden Kurven bestimmen
einen Büschel von derjenigen Art, die in I § 25 (I S. 166) unter
sucht worden ist.
Wenn die Gleichung (7) zwei gleiche Wurzeln hat,
so haben die beiden unendlichfernen Kurven unendlich
viele Polardreiecke gemeinschaftlich.
15. Wir untersuchen jetzt den Fall, dafs die Gleichung (7)
eine dreifache Wurzel hat. Da die Summe der drei Wurzeln
von (7) gleich a 1 x -f- a 2 2 + a 3 3 ist, können diese nur gleich sein,
wenn co — 3,11 ist. letzt müssen aber auch die
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Gleichungen (11) bestehen. Wofern also keiner der drei Koeffi-
cienten a i2 , a 13 , a 23 verschwindet, folgen aus (12) die Glei
chungen :
—)— a 2 2 ~F a 3 3
3
+ a 22 + a 33 __
3