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§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
a i 1 ~P a 2 2 ~j~ a 3 3 a 3 1 a 3 2 
ü a 3 3 a 
O a i 2 
Durch Addition dieser drei Gleichungen ergiebt sich aber 
die Relation: 
a i'3 a i 2 3 a 2 2 i a 2 2 s "4“ a 3 2 i a 3 2 -2 
welche für reelle von null verschiedene Werte nicht befriedigt 
werden kann. 
Wenn aber a 
den Gleichungen: 
2 3 
1 3 
0, a j 2 =p 0 ist, so leitet man aus 
a i 1 + a 22 + a 33 
l 3 3 
’ a 1 2 2 ( a 1 1 
0 ( a 2 2 
L 3 3 
die Beziehung her: 
( a n ~~ a 2 2) 2 + 4 a i 2 2 = 0, 
welche ebenfalls mit unserer Annahme unvereinbar ist. Es mufs 
also sein: 
a 2 3 a 31 a 1 2 ^5 a i 1 a 2 2 a 33’ 
oder die gegebene Fkäche ist ebenfalls eine Kugel. 
Hiernach hat die Gleichung A (co) = 0 entweder drei un 
gleiche Wurzeln oder eine Doppelwurzel oder eine dreifache 
Wurzel. Im ersten Falle haben die unendlichfernen Kurven der 
gegebenen Flächen ein einziges gemeinsames Polardreieck; im 
zweiten Falle giebt es deren unendlich viele. Im dritten Falle, 
wo die beiden Flächen Kugeln sind und die Schnittlinien mit der 
unendlichfernen Ebene identisch werden, sind alle in dieser Ebene 
gelegenen Polardreiecke gemeinsam. 
Zieht man vom Anfangspunkte des Koordinatensystems nach 
den drei Eckpunkten eines solchen Dreiecks gerade Finien und 
wählt diese zu Kanten eines Cartesischen Koordinatensystems, so 
ist dasselbe rechtwinklig; bei seiner Benutzung fallen die Produkte 
xy, xz und yz aus der Gleichung der Fläche fort. 
Lösung des Problems B). 
16. Das Problem B) stellen wdr in folgender Form auf: 
Es seien die beiden quadratischen Formen in drei Variabein 
gegeben: 
<P = a 1]L xj -p a 22 x^ -f- a 33 x| -f- ia 23 x 2 x 3 
-p 2a 31 x 3 x 1 -p 2a x 2 x 1 x 2 
T = xf + x| -P x|.