§ 29. Hauptaxenproblem der Flächen zweiter Ordnung. 
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Yl: 
Man soll xj, x 2 , x 3 durch homogene lineare Funktionen von 
72, y 3 : 
x i — ^i7i +i“iy 2 + i; i7s 
(13) x< 
k 2 = **71 +i“ 2 y 2 +^ 2 y 3 
x 3 = * 3 7i +^ 3 y 2 +^ 3 y 3 
ersetzen und die Koefficienten so wählen, dafs die zweite Form 
ungeändert bleibt und in der ersten die Koefficienten von y 1 y 2 , 
y x y 3 und y 2 y 3 wegfallen. Es soll also sein: 
(14) xf +x| +x| =yf +y| +y| 
_ ^ = t> A yf +b 2 y| +b 2 y|. 
Wir wollen dies Problem im Anschlufs an die soeben durch 
geführten Entwicklungen zu lösen suchen. 
Indem wir in die linke Seite von (14) die Werte (13) ein- 
setzen, erhalten wir auf der linken Seite eine quadratische Form 
von y 1} y 2 , y 3 . Hier hat yf den Koefficienten Zf -f- Z\ -{- 
und 2y 2 y 3 den Koefficienten n x v x -j- ,a 2 r 2 -j- [i 3 v 3 . Nun soll 
■die Gleichung (14) für alle Werte von y 1} y 2 , y 3 erfüllt sein; 
also müssen alle Glieder auf beiden Seiten denselben Wert haben. 
Das giebt die Gleichungen: 
+ *| + *1 = f, ß\ V l + ßt V 2 + ßs V 3 = 
(15) n\-\-n\ul = 1, v x Z x v 2 Z 2 v 3 Z 3 — 0, 
V \ + v \ + V l — 1, *1^1 “F *2/^2 + *3^3 == 
Wenn die Werte (13) in <P eingesetzt werden, so wird der 
Koefficient von y 2 y 3 : 
“l~ a 2 2ß2 V 2 + a 33( l 3 V 3 "F a i 2 iß \ V 2 "F ß 2 V l) 
+ a i3 iß 1 V 3 +i“3 i H) + a 23 iß 2 V 3 + ß3 V 2^ 
Da dieser Koefficient sowie der von y 3 y t und der von y t y 2 
verschwinden soll, so müssen die Gleichungen bestehen; 
(16) 
2*3 ~F J ’ 3 *2; 
+ *3i W 2 ) — ö. 
Die Gleichungen (16) und die drei letzten Gleichungen (15) 
gestatten uns, Z 1} Z->, Z 3 und (j 1} ¿/ 2 , {¿3 sowie v iy r 2 , v 3 aufzu 
fassen als die Koordinaten von drei Punkten, welche einander 
zu je zweien in Bezug auf die beiden Kurven xf -f- x| 4* x| = 0 
Kill in g, Lehrbuch der analyt. Geometrie. II. 18 
a l\ß\ v l 
—j— cl 2 9 
,f/. 9 V g cl g ^ f/, 3 V g 
~F a 1 2 iß 1 
+ a 
13 iß 1 V 3 ~F ß 3 V l 
) + a 2 3 iß\ 
anMi 
"F a 2 2 
^2^2 — F a 3 3^3^3 
+ a 1 2 i V l' 
+ i 
11 3 (j^/g + V 3^\ 
) + a 2 3 i V 
a 1l Z l fi 1 
—1~ ^2 2 
*2^2 "F a 3 3^sßs 
+ a i2 (*1 / 
13 (*1^3 "F *3^1 
) + a 23 (*S