§ 8. Die Geraden und die Ebenen des Raumes. 
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Daraus ergiebt sich; 
P s = + ßyep-t + *pa + £P4- 
Hier schreiben wir q statt p,, ax statt ays, a 2 statt ßys, a 3 
statt 6t und a 4 statt £. Dann erhalten wir als Wert der vom 
Punkte P (=px ...p 4 ) auf die Ebene V gefällten Senkrechten: 
(9) q = a^x -f- a 2 p 2 -f- a 3 p 3 a 4 p 4 , 
wo die Koefficienten a!, a 2 , a 3 , a 4 nur von den vorher benutzten 
Koefficienten a . . . £ und somit nur von der Lage der Ebene V 
zu den Ebenen I, II, III, IV abhangen. Die Koefficienten a x ...a 4 
ändern sich also nicht, wenn man den Punkt P durch irgend 
einen andern Punkt des Raumes ersetzt. 
7. Die Unabhängigkeit dieser Koefficienten von der Wahl 
des Punktes P benutzen wir, um die geometrische Bedeutung 
derselben zu finden. Wenn wir den Punkt P mit dem Punkte 
Ox zusammenfallen lassen, werden p 2 = p 3 = p 4 = 0; px geht 
in die vom Punkte O) ausgehende Höhe h x des Tetraeders und 
q in die Senkrechte über, welche von Ox aut die Ebene V ge 
fallt ist. Indem wir diese Senkrechte gleich rj setzen, nimmt 
die Gleichung (9) bei dieser Lage von P die Gestalt an: r x =a,hx. 
Wir nennen in gleicher Weise die von den Eckpunkten 0 2 , O s , 
0 4 ausgehenden Höhen des Tetraeders h 2 , h 3 , h 4 und bezeichnen 
die von diesen drei Punkten auf die Ebene V gefällten Senk 
rechten der Reihe nach mit r 2 , r 3 , r 4 . Dann gelangen wir da 
durch, dafs wir den Punkt P erst mit 0 2 , dann mit 0 3 und 
endlich mit 0 4 zusammenfallen lassen, zu den Gleichungen: 
r 2 = a 2 h 2 , r 3 = a 3 h 3 , r 4 = a 4 h 4 . 
Wir können hieraus die Koefficienten a l3 a 2 , a 3 , a 4 vermittelst 
der Gröfsen r,, r 2 , r 3 , r 4 ausdrücken und demnach die Gleichung 
(9) durch die folgende ersetzen: 
( 10) i = h>+i^ + fi> + k> 
wo r,, r 2 , r 3 , r 4 die Senkrechten angeben, welche von den 
Punkten Ox, 0 2 , 0 3 , 0 4 auf die Ebene gefiült sind, während q 
den senkrechten Abstand des Punktes (p L ... p 4 ) von dieser 
Ebene darstellt. 
8. Soll der Punkt P in der Ebene V liegen, so mufs q = 0 
sein. Die Bedingung dafür, dafs der Punkt (px ... p 4 ) dieser 
Ebene angehört, kann also im Anschlufs an (9) durch die Gleichung 
Rüting, Lehrbuch der analyt. Geometrie. II. 2